モ-デル=ベイユ格子とカラビ=ヤウ多様体のミラー対称性予想

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本年度の研究において、ファノ多様体やカラビ=ヤウ多様体等のc_1が非負の多様体の量子コホモロジー環(A-model)について研究した。特に、アーベル曲面のファイバー構造を持つ、カラビ=ヤウ多様体の量子コホモロジー環の構造の一部をモ-デル=ベイユ格子の理論を用いて計算できる事を示した。その応用例として、齋藤=榊原の種数2の曲線のファミリーから得られるヤコビ多様体の属のなすカラビ=ヤウ多様体と、有理的楕円曲面のファイバー積から得られるカラビ=ヤウ多様体の量子コホモロジー積の一部を決定し、それらの結果については現在論文を準備中である。これらの、ミラー対として現れるカラビ=ヤウ多様体のB-modelとしての湯川カップリングの計算(正則形式の積分)については現在研究中である。また、トーリック多様体の超曲面から得られるカラビ=ヤウ多様体の幾つかの例について、オランダのJan Stienstraとともに共同研究した。B-modelでの、Stienstraの湯川カップリングのプレポテンシャルの公式を幾つかの例について適用し、特に、K3ファイブレーションや、楕円ファイブレーションを持つ場合に、展開係数に在る種の周期性が出てくる事を確かめた。対応するミラー対のA-modelでの在る程度の理解が得られたが、さらなる理解が今後の課題である。量子コホモロジー積と、フロベニウス構造と呼ばれる可積分系の構造が対応している事が多くの研究者によって指摘されてきているが、旗多様体の時は戸田格子が対応する。これらの方向でさらに、量子コホモロジー環と可積分系の内在的関係の理解が今後の課題である。