Extension of Thurston's Characterization Theorem to Transcendental Mappings

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Ziel des Projektes ist die Erweiterung eines fundamentalen Satzes von William Thurston über rationale Abbildungen auf den Kontext transzendenter Abbildungen. Thurstons Beweis seines Satzes basiert auf einer Iteration in einem geeigneten Teichmüller-Raum; die Existenz von rationalen Abbildungen mit gegebenen Eigenschaften wird darauf zurückgeführt, ob diese Iteration entweder gegen einen Fixpunkt oder nach unendlich konvergiert. Die Iteration im Teichmüller-Raum ist auch für transzendente Abbildungen sinnvoll, aber Thurstons geometrische Abschätzungen lassen sich nicht übertragen. Unser Forschungsprojekt untersucht zwei Perspektiven, die einerseits wesentliche Einsichten über Teichmüller-Räume erwarten lassen und andererseits zu einem neuen Beweis des Satzes von Thurston führen sollen, der für rationale und transzendente Abbildungen gleichermaßen gilt. Der eine Ansatz untersucht die Struktur quadratischer Differentiale auf Riemannschen Flächen insbesondere wenn die Flächen degenerieren, der andere Ansatz untersucht die Erweiterung der Thurston-Iteration vom Teichmüller-Raum auf einen geeignet zu beschreibenden Rand.