一般型超曲面の部分多様体の研究

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グリーン・グリフィス・ラング予想という長い間未解決の予想がある．一般型の非特異射影複素多様体Xに対し，その真のザリスキ閉集合Z（例外集合と呼ばれる）が存在して，複素平面からXへの非定値正則写像の像はZに含まれる，という主張がそれである．この予想はほとんど手つかずで，いまだ解決からほど遠いと思われているが，特殊な一般型多様体に対して，グリーン・グリフィス・ラング予想を検証する試みはいくつか行われている．今年度，本研究者は，グリーン・グリフィス・ラング予想の代数的類似に関する研究を行った．ここで代数的類似とは，例外集合Zの外に複素平面からの非定値像は存在しない，ことの代わりに，例外集合に含まれない部分多様体は一般型である，ことを示す問題となる．この代数的類似でも一般に考えるのは難しいが，射影空間内の一般な超曲面に対しては，アイン，ヴォアザン，クレメンス・ランらによる研究がある．これらの研究では例外集合も具体的に決定されている．たとえば，クレメンス・ランの扱った場合では，例外集合は超曲面内の直線の和集合である．本研究者は本年度，この研究に触発され，次の場合を考察した．Gを端連結単純複素リー群とし，Tを極大トーラス，BをTを含むボレル部分群とする．Bを含む極大な放物的部分群はGのディンキン図形の頂点と一対一に対応する．そこでPを長ルートに対応する極大放物的部分群とし，G/Pをピカール群の正の生成元の完全線形系で射影空間に埋め込む．この時G/Pと超曲面の交わりに対し，グリーン・グリフィス・ラング予想の代数的類似の研究を行い，クレメンス・ランの結果の一般化を得ることに成功した．