Numerische Lösung von Optimalsteuerungsproblemen für instationäre Diffusions-Konvektions- und Diffusions-Reaktionsgleichungen

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In diesem Projekt sollen numerische Algorithmen für die optimale Steuerung von instationären Diffusions-Konvektions- oder auch Diffusions-Reaktionsgleichungen mit Methoden der Zustands- bzw. Ausgangsrückführung entwickelt werden. Lineare Probleme mit quadratischem Kostenfunktional lassen sich als abstraktes linear-quadratisches Optimalsteuerungsproblem (LQR Problem) interpretieren. Für die Lösung dieser LQR Probleme wurden vorn Antragsteller neue effiziente Verfahren (mit-)entwickelt, die über geeignete Schnittstellen mit Lösern für das zugrunde liegende stationäre Vorwärtsproblem gekoppelt werden. Bei nichtlinearen Aufgabenstellungen, die durch nichtlineare Differentialoperatoren oder nichtlineare Randbedingungen entstehen, kann eine Klasse von Optimalsteuerungsproblemen, die sogenannten Tracking-Probleme, mit Hilfe von Zustands- oder Ausgangsrückführungen gelöst werden. Im Allgemeinen kann die optimale Steuerung nicht direkt oder nicht mit vertretbarem Aufwand berechnet werden wie im linearen Fall, deshalb verwendet man verschiedene suboptimale Strategien. Wir werden uns hier auf die Entwicklung numerischer Methoden für die Anwendung der Modellprädiktiven Steuerung (MPC) auf 2D und 3D Probleme konzentrieren. Bei diesem Ansatz überdeckt man den gesamten Zeithorizont mit Hilfe von kürzeren Zeitfenstern, auf denen dann mit Hilfe eines LQR bzw. LQG Designs ein Hilfsproblem gelöst wird. Für das LQR bzw. LQG Design benötigt man die oben genannten numerischen Methoden für das nach Linearisierung entstehende parabolische Problem.