On the Uniform Boundedness Conjecture for Drinfeld Modules

今年度は、昨年度に引き続き当研究課題の主たる研究対象であるDrinfeld加群に付随するGalois表現から派生した問題として、一点抜き虚数乗法付き楕円曲線に付随する副p外Galois表現に関する研究を行った。昨年度の研究においては、副p外Galois表現の核に対応する虚二次体の拡大体の「ある部分体」を、Deligne-伊原予想の類似物及びYager氏やWingberg氏により研究されていた素数pのある種の「正則性」の下で体論的に記述することに成功していた。今年度は、この結果を核に対応する拡大体「そのもの」にまで拡張することに成功した。また、この結果で仮定されているDeligne-伊原予想の類似物の解決に関しては進展が得られなかったが、その予想を整係数版に強めたものに関しては一般には成立しないことを示唆する非自明な観察を得た。より詳しくは、虚二次体の法p射類体の制限分岐付き副p拡大のGalois群がDemushkin群と呼ばれる副p群と同型になる条件を一般化Greenberg予想の下で考察し、この考察の下で「非正則」な素数pに対しては整係数版の予想が成立しないことを示唆する着想を得た。以上の結果は、Sharifi氏が三点抜き射影直線の場合に得ていた結果の一点抜き虚数乗法付き楕円曲線における類似にあたる。これらの結果の一部は博士論文として纏められた他、研究集会「プロジェクト研究集会2022」及び「Low dimensional topology and number theory XIV」において今年度得た研究成果の一部を講演した。

今年度は、昨年度に引き続き当研究課題の主たる研究対象であるDrinfeld加群に付随するGalois表現から派生した問題として、一点抜き虚数乗法付き楕円曲線に付随する副p外Galois表現に関する研究を行った。昨年度の研究においては、副p外Galois表現の核に対応する虚二次体の拡大体の「ある部分体」を、Deligne-伊原予想の類似物及びYager氏やWingberg氏により研究されていた素数pのある種の「正則性」の下で体論的に記述することに成功していた。今年度は、この結果を核に対応する拡大体「そのもの」にまで拡張することに成功した。また、この結果で仮定されているDeligne-伊原予想の類似物の解決に関しては進展が得られなかったが、その予想を整係数版に強めたものに関しては一般には成立しないことを示唆する非自明な観察を得た。より詳しくは、虚二次体の法p射類体の制限分岐付き副p拡大のGalois群がDemushkin群と呼ばれる副p群と同型になる条件を一般化Greenberg予想の下で考察し、この考察の下で「非正則」な素数pに対しては整係数版の予想が成立しないことを示唆する着想を得た。以上の結果は、Sharifi氏が三点抜き射影直線の場合に得ていた結果の一点抜き虚数乗法付き楕円曲線における類似にあたる。これらの結果の一部は博士論文として纏められた他、研究集会「プロジェクト研究集会2022」及び「Low dimensional topology and number theory XIV」において今年度得た研究成果の一部を講演した。