Effective use of multi-precision arithmetic on floating number system of digital computers aiming at numerical computations of differential equations with singulari or ill-posedness

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本課題研究では、主として現象の数理モデルとしての偏微分方程式の数値解析と数学解析を論じている。偏微分方程式の数学解析では、解の有する特異性や不安定性をどのように正則化するかが純粋数学としては重要な論点であり、このために様々な概念が提唱され、また種々の函数空間が導入される。一方で、現象の数理モデルとしての微分方程式の議論においては、特異性は単に正則化されるべき「特異」な挙動と考えることは慎重で有らねばならない。実際、解の特異性や不安定性は対象とする系・現象の重要な物理量などと関連している場合が散見され、この特異性を定量的に論じることが重要となる事例も少なくない。しかし解の「特異性」は数値計算の発散や不安定性と表裏一体であるため、特異性を定量的に論じることはきわめて困難である。既存の理論の単純適用では、特異性を定量的に数値計算によって扱うことはきわめて困難である。本課題研究ではこのような問題意識と現状認識の下で、研究代表者と分担者の過去の研究実績を踏まえて、代表者と分担者が分業によって幾つかの具体的な問題に限定的に取組、数学解析に裏付けられた数値計算法を新たに確立することによって特異性の定量的な議論を行なおうとしている。２年度は初年度に引き続き１階双曲型方程式の有限要素法解析について成果を得、先行研究を超えたシャープな収束評価を与えるに至った。逆問題解析については医用断層撮影の数値解析にかかる国際共同研究の推進を図った。さらにポテンシャル逆問題を再考し、Zidarov による bubbling アルゴリズムの再検討を行いこの手法の有効性の検証を行った。