高解像光トモグラフィの実現に向けての数学的基礎研究

实现高分辨率光学层析成像的基础数学研究

• 批准号: 21654016
• 负责人: 磯 祐介
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21654016/
• 关键词: 数値数学; 数値解析; 多倍長数値計算; トモグラフィ; 輸送方程式; 逆問題; 光トモグラフィ

次世代の医用トモグラフィと期待される光トモグラフィの基礎研究として、輸送方程式の数学解析および数値解析の研究を展開している。平成22年度には方程式中の係数等の摂動における弱解の安定性、ならびに定常問題の場合の新たな数値計算アルゴリズムの提案を行うと共に、多くの数値計算事例の蓄積を行った。先行研究においては基礎方程式である輸送方程式の解を拡散方程式の解で近似したことが開発研究上の閉塞を招いたと考え、輸送方程式を直接扱う研究の展開を行っている。しかし平成21年度に集取した文献の精査を行った結果、光トモグラフィの高精度な実現に対しては、輸送方程式モデルにおいても検討すべき課題が残っていることがわかった。これは減衰項と散乱項の正当性に関するもので、このような根本的な問題意識に至ったことは、本課題研究による大きな進歩と考えられる。同時にこれらの項のL^∞摂動に対してL^P-弱解が安定であることも証明され、光トモグラフィを輸送方程式の逆問題として実現することの困難さも改めて確認した。定常モデルの場合には効率の良い反復型数値計算法の新たな提案を行ったが、計算機の並列性とこのアルゴリズムの効率の問題は、数値計算例による事例研究の蓄積に留まっている。2年間の研究を通し、輸送方程式モデルを利用して光トモグラフィの開発研究を行うことは、拡散方程式を用いて行われた先行研究よりも優位性があることが幾つかの点で指摘された。しかし一方で過去に看過されてきた幾つかの事項の重要性がわかり、輸送方程式を基礎方程式とする光トモグラフィの基礎研究の一層の深化が必要であることが確認された。また、多倍長数値計算に+係る幾つかの成果も研究課程で得られた。

作为对下一代医学断层扫描和预期光学层析成像的基础研究，我们正在开发传输方程的数学和数值分析。在2010年，我们提出了弱解在扰动中的稳定性，例如方程式中的系数，以及针对稳态问题的新的数值计算算法，并积累了许多数值计算示例。在先前的研究中，我们认为，通过解决扩散方程的解决方程的解决方案的近似，基本方程式导致了开发研究的阻塞，并且一直在开发直接处理传输方程的研究。但是，在对2009年收集的文献进行了彻底的研究之后，人们发现在运输方程模型中仍有问题要考虑到高精度光学层析成像。这涉及衰减和散射术语的有效性，人们认为这种基本关注导致了该研究主题的重大进步。同时，还证明了L^p-Weak解决方案对于这些术语的L^∞扰动稳定，并且将光学断层扫描作为传输方程的反问题的困难再次得到证实。尽管在稳态模型的情况下，我们提出了一种用于有效迭代数值计算的新方法，但该算法的计算机并行性和效率的问题仅限于使用数值计算示例进行案例研究的积累。在几个方面指出，使用传输方程模型在两年的研究中进行光学断层扫描开发研究优于先前使用扩散方程进行的研究。但是，另一方面，人们已经揭示了过去忽略的几个问题的重要性，并且必须进一步加深光学层析成像基础研究，而光学层析成像（将传输方程都用作基本方程式）是必要的。此外，在研究课程中还获得了与多个长度数值计算有关的几个结果。

项目成果

Numerical Real Inversion of the Laplace Transform by Reproducing Kernel and Multiple-Precision Arithmetic

再生核和多精度算法拉普拉斯变换的数值实数反演

• 发表时间: 2010
• 期刊: Progress in Analysis and its Applications
• 作者: 今井仁司;他;藤原宏志;藤原宏志
• 通讯作者: 藤原宏志

Finite Difference Approximation of I11-Posed Cauchy Problems

I11 柯西问题的有限差分逼近

• 发表时间: 2009
• 期刊: Theoretical and Applied Mechanics Japan 57
• 作者: Kotoba NISHIDA;Hiroshi FUJIWARA;Yuusuke ISO
• 通讯作者: Yuusuke ISO

Analysis of the transport equation as a mathematical model of the optical tomography

作为光学层析成像数学模型的输运方程分析

• 发表时间: 2011
• 作者: 磯祐介;他
• 通讯作者: 他

Numerical real inversion of the Laplace transform by using a high-accuracy numerical method

使用高精度数值方法对拉普拉斯变换进行数值实数反演

• 发表时间: 2009
• 期刊: Proceedings of the 6th International ISAAC Congress
• 作者: H.Fujiwara;T.Matsuura;S.Saitoh;Y.Sawano
• 通讯作者: Y.Sawano

On Numerical Computation of the Tricomi Equation

Tricomi方程的​​数值计算

• 发表时间: 2010
• 期刊: Theoretical and Applied Mechanics Japan
• 作者: 今井仁司;他
• 通讯作者: 他