高解像光トモグラフィの実現に向けての数学的基礎研究

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次世代の医用トモグラフィと期待される光トモグラフィの基礎研究として、輸送方程式の数学解析および数値解析の研究を展開している。平成22年度には方程式中の係数等の摂動における弱解の安定性、ならびに定常問題の場合の新たな数値計算アルゴリズムの提案を行うと共に、多くの数値計算事例の蓄積を行った。先行研究においては基礎方程式である輸送方程式の解を拡散方程式の解で近似したことが開発研究上の閉塞を招いたと考え、輸送方程式を直接扱う研究の展開を行っている。しかし平成21年度に集取した文献の精査を行った結果、光トモグラフィの高精度な実現に対しては、輸送方程式モデルにおいても検討すべき課題が残っていることがわかった。これは減衰項と散乱項の正当性に関するもので、このような根本的な問題意識に至ったことは、本課題研究による大きな進歩と考えられる。同時にこれらの項のL^∞摂動に対してL^P-弱解が安定であることも証明され、光トモグラフィを輸送方程式の逆問題として実現することの困難さも改めて確認した。定常モデルの場合には効率の良い反復型数値計算法の新たな提案を行ったが、計算機の並列性とこのアルゴリズムの効率の問題は、数値計算例による事例研究の蓄積に留まっている。2年間の研究を通し、輸送方程式モデルを利用して光トモグラフィの開発研究を行うことは、拡散方程式を用いて行われた先行研究よりも優位性があることが幾つかの点で指摘された。しかし一方で過去に看過されてきた幾つかの事項の重要性がわかり、輸送方程式を基礎方程式とする光トモグラフィの基礎研究の一層の深化が必要であることが確認された。また、多倍長数値計算に+係る幾つかの成果も研究課程で得られた。