トーリック多様体と代数的サイクル

トーリック多様体の交叉ホモロジー群が、対応する扇に含まれる錘体の生成する線形空間を集まりを使って得られた外積代数上の次数付き加群の複体によって表現されることを示した。これは有限集合である扇を空間と考えて、その上で層の理論を展開しているともいえる。これにより、トーリック多様体の交叉ホモロジー群が複素ケーラー多様体のコホモロジー群のホッジ構造と類似の分解をもつことが判った。トーリック多様体の交叉ホモロジー群の分解についての重要な結果として、対角線定理I,IIが得られた。対角線定理Iは非特異コンパクト・トーリック多様体のホッヂ数が対角線部分しか出ないことを、特異点を持つ場合に拡張した結果である。対角線定理IIは1つの錐体に対する局所的な結果で、スタンレーは単体的凸多面体の面に関する上限予想を代数幾何学の重要な定理である強レフシェッツ定理をトーリック多様体に適用することにより証明したが、対角線定理IIはこの証明における強レフシェッツ定理を不要にしている。研究費で購入したパソコンを用いて行なった組み合わせの計算が、これらの定理を得るのに役立った。

トーリック多様体の交叉ホモロジー群が、対応する扇に含まれる錘体の生成する線形空間を集まりを使って得られた外積代数上の次数付き加群の複体によって表現されることを示した。これは有限集合である扇を空間と考えて、その上で層の理論を展開しているともいえる。これにより、トーリック多様体の交叉ホモロジー群が複素ケーラー多様体のコホモロジー群のホッジ構造と類似の分解をもつことが判った。トーリック多様体の交叉ホモロジー群の分解についての重要な結果として、対角線定理I,IIが得られた。対角線定理Iは非特異コンパクト・トーリック多様体のホッヂ数が対角線部分しか出ないことを、特異点を持つ場合に拡張した結果である。対角線定理IIは1つの錐体に対する局所的な結果で、スタンレーは単体的凸多面体の面に関する上限予想を代数幾何学の重要な定理である強レフシェッツ定理をトーリック多様体に適用することにより証明したが、対角線定理IIはこの証明における強レフシェッツ定理を不要にしている。研究費で購入したパソコンを用いて行なった組み合わせの計算が、これらの定理を得るのに役立った。