粘性流体の中の物体の運動の制御と安定性の数学解析

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３次元空間をみたす非圧縮粘性流体の中に運動する剛体があるとして、その運動状態に応じた定常解や時間周期解の空間無限遠での減衰構造や安定性を擾乱の長時間挙動とともに明らかにすることは本研究の主題である。この主題について、本年度に研究代表者が証明した研究成果は以下のとおりである。剛体の運動が時間に依存するとき、線型化方程式は非自励系となり、その基本解は２径数発展作用素として与えられる。時間周期解の存在と一意性、安定性を示す強力な方法のひとつは発展作用素の時間減衰評価を応用することであるが、自励系のようにスペクトル解析を進めることはできず、代替の解析手法が期待されていた。本研究では、エネルギ一関係式と双対性を援用した０階の一様有界性評価を手がかりに進む新しい方法を提案し、実際に発展作用素の０階および空間１階の最適な減衰評価の導出に成功した。それを用いて、剛体の障害物の並進の方向と回転軸の方向の関係が全く一般な状況のもとで時間周期解の構成、およびスケ一ル臨界減衰のクラスでの一意性を示し、先行する関連研究の諸結果を本質的に改良した。さらに、得られた時間周期解の空間無限遠での各点減衰評価を詳しく求め、特に航跡を伴う異方的な減衰構造が取り出されるための十分条件を並進速度と回転行列によって記述した。得られたその条件は航跡の存在が示された先行研究での条件をすべてカバ一するという意味で、統一的な視点を与えている。また、上記の非自励系の長時間挙動を解析する方法は流体と剛体の運動が相互作用する問題へも応用された。諸事情により、現時点では剛体が球体の場合に限ってではあるが、非自明な主流の安定性を判定する初めての定理が証明された。先行研究では自明解の安定性のみが示されていたのみであり、主流が定常解であっても新しい成果であるが、本研究のやりかたはそれが例えば時間周期解のように時間依存である場合も許す。