脳磁図分析の解析的研究

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医学数学シンポジウムを各年度で開催し、脳磁図分析の数理解法アルゴリズムの開発に必要な基礎知識や基礎データを集め、医療の専門家と詳しく議論した。次に脳磁図分析の基礎となる方程式の解析的研究を行い、脳波を記述する積分方程式の一意可解性を証明するとともに、脳磁図分析の完全逆問題が非適切であることを示し双極子仮説の妥当性について考察を加えた。またMaxwell方程式やStokes方程式の解の界面正則性について、解析的に新しい結果を得た。これらの考察に基づいて順問題と逆問題を数学的に正しく定式化することができた。この成果に基づいて非適切問題の解法に汎用性のある平行最適化の数学的理論を構築し、approaching-freezing-meltingからなる解法アルゴリズム(Paralope)を考案した。次にこの平行最適化の理論を脳磁図分析に適用し、meltingにおける2つの方法、すなわち位置に対するbindingとモーメントに関するstreamingを開発し、数値実験によって双極子数を仮定しない双極子仮説のもとでの脳磁図分析に有効であることを確認した。これらは素片分布を量子化するためにいずれも実解析学の基礎的なアイデアを応用したものである。またモーメントと位置の摂動に対するバイアスをかける式を導出するとともにlocal minimumに陥ることを防ぐためのholeに関する理論を構築した。さらにこれらの理論を不足決定に設定された数理解法アルゴリズムである「電流素片分布法」に装着してデータ分析のためのソフトを開発した。この際に十分に量子化された段階ではデータの使用量を減らして過剰決定系に変更する方法を開発した。これによってholeに陥ることを避けるとともに分析データの信頼性を高めることができることを実証することができた。