非線形特殊多項式の数論

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ヤブロンスキー多項式については、前年にその最低次の項の係数の明示的な公式を与え、また一般の係数をその最低次係数で割ったものが多項式のインデックスに関して多項式関数であることを示し、更に多項式を素数で還元したときの周期的な様子を明らかにしたが、その知見をもとに多項式のガロア群(それはすべて対称群であろうという梅村の予想がある)を計算するべく計算機実験を行った。実例を見る限りはすべて対称群であった。その証明のために、まず線形な場合、特に、超特異楕円曲線のj不変量との関係で以前みつけた、ある微分方程式の解から生じる特殊多項式(超幾何多項式になっている)のガロア群を計算し、ある条件の下で実際対称群になることを証明した。ヤブロンスキー多項式の場合にも前年に得た知見によって同じような証明が機能すると期待したが、係数についての知見の少なさによってそれは実現しなかった。上記の微分方程式について、重さに対応するパラメーターを5分の整数とたものから、これまでのように古典的なガウスの超幾何多項式では書けない多項式の系列を見つけ、そのいくつかの性質を証明した。この解はラマヌジャンやクラインの関数と密接に関係し、また数理物理でもしばしば現れる。それの標数pでの振る舞いについても予想を得た。その予想の証明はしていないが、ここまでをまとめて論文とした。