A new look into various arithmetic and topological invariants through the eyes of modular knots

点击翻译按钮获取中文摘要

代表者は，2020 年に J. of Ramanujan Math. Soc. に掲載された， Carsten Elsner，立谷洋平と共同で行った古典的なテータ関数の値の代数独立性，超越性に関する研究を，Daniel Duverneyも加えさらに発展させ，フィボナッチ数を用いた無限積の超越性および代数独立性に関する結果を発表することが出来た．この研究はテータ級数，デデキントエータ関数などモジュラー形式をふんだんに使うもので，モジュラー関数の実2次点での値の超越性にも道が開けないものかを探る研究を引き続き立谷と進めている．分担者松坂は植木潤と共同で，2007年の Ghys による，三葉結び目 K の結び目補空間と同相である SL2(Z)\SL2(R) における，測地流の閉軌道としてのこの空間内のモジュラー結び目 C と，三葉結び目 K の絡み数 Lk(C,K) がRademacher記号 Ψ(γ) と等しくなるという結果を，モジュラー群を一般化した三角群 Γ_{p,q} に対し，同様の商空間 Γ_{p,q} \ SL2(R)や，そのS^3への持ち上げに対して，同様にモジュラー結び目を定義し，その絡み数を考察することで一般化した．一方で，三角群に対する調和 Maass 形式を考察し，重さ2の Eisenstein 級数 E2(z) の三角群への拡張を与えることで，そのサイクル積分として三角群の Rademacher 記号を定義し，Ghysの結果の拡張として，絡み数 = Rademacher記号 の形の等式を得た．さらに，三角群の Rademacher 記号を，浅井哲也の研究 (1970) のような，2次（有界）コホモロジー群 H^2(Γ_{p,q}, Z) の文脈で自然な特徴付けを与えた．他にも多重ベルヌーイ数やその一般化に対する様々な結果を得た．