ハッセ不変量と直交多項式の数論

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ザギエ教授との共同研究において得られた超特異j多項式の持ち上げで、ヤコビの直交多項式になっているものについて、そのガロア群を計算する試みを行った。一般的な言明を証明するには至らなかったが、その判別式はきれいな形の積でかけ、その公式は証明した。アイデアはシューアがいくつかの直交多項式のガロア群を決定した際に用いたものが通用する。また、ある条件を満たす次数については既約性を示した。計算機による計算の結果50次以下の多項式についてはそのガロア群はすべて対称群であった。本年度はj関数について非常に興味深い公式を見つけ、証明できた。それは、j関数のフーリエ係数をCM点での値(特異モヅル)で書き表す公式である。特異モヅルは古典的に虚数乗法論として研究された、いわば近代整数論の華である。一方フーリエ係数は、合同関係など散発的な研究はあったが、1979年にコンウエイとノートンにより発見されたムーンシャイン現象によってモンスター群、さらには理論物理ともかかわる(頂点作用素代数)対象であることがわかってきた。これら2つ(特異モヅルとフーリエ係数)の間にはこれまで何の関係も見いだされていなかったと思うが、こんど見つけた公式は各フーリエ係数を特異モヅルのある有限和で明示的に表す。いまのところ(証明はしたものの)その深い背景についての理解を得るには至ってないが、この、保型関数(形式)のフーリエ係数とCM点での値の関係、というテーマはこれからも進めていく価値のあるテーマと思う。