多重ベルヌ-イ数とゼータ関数

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古典的なベルヌ-イ数を多重対数級数を用いて一般化したものが「多重ベルヌ-イ数」であるが、以前、これが負の整数点での値として現われるようなゼータ関数タイプの関数を荒川恒男氏(立教大学)との共同研究で見つけ、本研究では、このゼータ関数の解析的、数論的性質を、これまでのゼータ関数の分野でなされた研究の手法に範をとり調べるというのがおおまかな計画であった。研究のいわば第一段階として、今年度に得られた結果は十分満足のいくものであった。すなわち、当関数の解析接続などの基本的な性質のほかに、極の様子を調べ、特に1での極の様子を具体的に書いた。その過程で、リーマンゼータ関数の1でのテーラー展開に関して、おそらく新しいと思われる公式を発見した。これは予期していなかったことだが、これが、我々の一般化を通して見通しよく証明されることは、これから考えるべきことを示唆するように思われる。さらに、このゼータ関数の正整数での値の考察をいくつか行い、近年様々の分野で注目されている「多重ゼータ値」の満たす種々の新しい線形関係を得ることが出来た。また、以前、もっとも簡単な場合にのみ行っていた、多重ベルヌ-イ数のp進的な性質を調べることも、より一般の場合に広げて研究しつつあり、色々な合同式の形で成果が出つつある。研究成果は荒川氏との共著論文としてまとめ、現在投稿中である。九大のプレプリントシリーズとしては既に出回っている。