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解が存在しない微分方程式の数値シミュレーション

无解微分方程的数值模拟

基本信息

批准号：
14654023
负责人：
今井仁司
金额：
$ 2.56万
依托单位：
The University of Tokushima
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

解が存在しない微分方程式として,解析的な係数を持つ楕円型偏微分方程式の初期値問題をとりあげた.昨年度は,初期条件のパラメータの値によって解の存在非存在がコントロールできるテスト問題をとりあげて,差分法と無限精度数値シミュレーション法を比較した.その結果,無限精度数値シミュレーションのみが存在非存在に正確に対応する計算結果を示すことを実証した.ただし,初期条件としては解析関数か低階微分のみ可能な関数というはっきりと区別できるものを採用したので,無限精度数値シミュレーションの有効性を確認しやすい状況であった.本年度は,初期条件として解析関数か無限回微分可能であるが解析的でない関数という究極の状況をとりあげた.メモリ使用量が20GBに迫るような超大規模の並列計算を行ったところ,選点数(近似の次数)を空間方向によって変えないとうまくいかないことが判明した.逆にいえば,選点数(近似の次数)を空間方向によって変えればうまくいくということが判明したのである.即ち,解の存在非存在に関するこの究極の状況下でさえ,数値シミュレーションがうまくできる環境が無限精度数値シミュレーションにはあるという驚くべき事実が判明した.このような直接的な研究以外にも関連する研究として,極座標変換による特異性を回避する公式の発見や進行波解や平衡解の存在や安定性を数値的に示す手法の開発など,様々な微分方程式の数値解析を可能にする手法の開発を行った.

The existence of solutions to differential equations, analytical coefficients, and initial value problems of partial differential equations of the type of. In the past year, the initial condition of the problem of the existence of non-existence of the solution, the difference method and the infinite precision numerical value method were compared. The result shows that there is no such thing as an infinite precision number. The initial condition is to determine the existence of the low order differential and the possible differential and to determine the existence of the infinite precision differential and the possible differential. This year, the initial conditions and analytical relations and infinite derivative possibilities are discussed. The number of selected points (approximate number of times) is determined by the spatial direction. Inverse, select number of points (approximate number of times), spatial direction, and identify. That is, the existence and non-existence of the solution are related to the ultimate situation. The direct study of the relationship between the polar coordinate transformation and the specificity of the equation is discussed. The equations are developed to show the existence of progressive traveling wave solutions and equilibrium solutions. The numerical values of the differential equations are analyzed.