非有理型を含む頂点作用素代数における環論・モジュラー形式論・群論の新展開

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本年度研究実績頂点作用素代数(Vertex Operator Algebra)理論におけるテンソル積はこれまで交絡作用素を利用して定義されていたが、一般的な頂点作用素代数に対しては、log z項を含むような交絡作用素を考察する必要がある。これらによって定義されるテンソル積は一般のテンソル積理論が求めている性質を満たしているかどうか不明であり、一般的な代数における理論が頂点作用素代数に対しても成り立っているかどうか確認する必要がある。特に、良い有限自己同型群を持つような頂点作用素代数の場合、正定値不変内積を持っていることが多く、それの意味するところを解析することを目指した。本研究を通して次の3つの結果(1)-(3)を発展させた。(1)C2有限条件における射影加群の概念の意味:頂点作用素代数の加群に対しても環論で通常使われている射影加群を導入し、それが一般ツー代数に対する射影加群と類似していることを示した。(2)テンソル積の平坦さと同値条件を研究:C2有限条件と呼ばれるある種の有限性の仮定の下では、主射影分解に対して、テンソル積の平坦さ(環論のように加群が主ではなく、完全可約を主として考えている)が成り立つことを証明した。この結果により、テンソル積の平坦さを得る為の条件を色々導き出せた。(3)頂点作用素代数に対してもコホモロジー群を導入した。射影被覆およびそれから出て来る射影分解を利用してコホモロジー群を定義した。このコホモロジー群の意味するところはまだまだ不明であるが、愛媛大学の安部氏と連絡を取り、非有理型頂点作用素代数の代表的なトリプレット代数に対するコホモロジーを計算し、それが多項式環と同型であることを得た。この多項式環の持つ意味を調べる事は重要な意味を持つと思われ、次の共同研究へ発展する予定である。