変形頂点作用素代数の次数2の空間とモジュラー不変性

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頂点作用素代数の概念は現在、2次元共形場理論を代数化したものと理解されているが、通常の2次元共形場理論がモジュラー不変性を仮定するのに比べて、頂点作用素代数の公理にはこのようなモジュラー不変性が入ってはいない。しかしながら、ズーが証明したように、強いモジュラー不変性を示している。通常は一変数のトレイス関数がモジュラー不変性を示すのであるが、本研究は研究代表者の宮本が単純なトレイス関数だけではなく、変形頂点作用素代数の次数の空間における共形元の直和を使い、多変数のトレイス関数を定義したにも関わらず、大きな群に対する不変性をしめしたのが出発点である。平成12年度では、ムーンシャイン頂点作用素代数において、48組の共形元を使ってトレイス関数を定義することにより、48変数関数を定義し、この関数が非常に大きな群に対して不変性を持つことを示した。平成13年度では格子型頂点作用素代数内のジョルダン部分代数を使うことによってジーゲル型のモジュラー形式が構成できることを示した。これは格子型ではないムーンシャイン頂点作用素代数に対しても応用することが出来、これからの発展が期待できる結果である。この萌芽研究は頂点作用素代数が従来いわれていたように、リーマン面上の関数だからモジュラー不変性を持つという曖昧な考察を乗り越え、より深い構造を持っているということを結論付けたことで成功したと思える。