頂点作用素代数とワイル代数

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頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが,以後の研究により、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かっている。この頂点作用素代数は通常の代数とは異なり,無限個の演算を持つものであり,色々な代数を内部に含む複雑な構造を持っている。さらに、無限個の積を与える頂点作用素の成分全体は非常に大きな代数(カイラル代数)を構成している。本研究は、このカイラル代数の立場からワイル代数の表現を考察した。ワイル代数は代数幾何や数理物理などで重要な働きをする無限次元の代数であるが、これは自然な形でハイゼンベルグ代数の包絡環の中に入っている。また、このハイゼンベルグ代数は一次元ラティス型の頂点作用素代数の構成に使われており、頂点作用素代数のカイラル代数の中に入っている。一般に大きな代数の中に埋め込むと、表現の研究は難しくなるのが、一般的であるが、頂点作用素代数の場合には、表現の自由度が減り、研究し易くなることがある。実際、宮本によって、一次元ラティスの頂点作用素代数は簡単な表現を持つイジング模型のテンソル積として理解できることが示された。また、それゆえ、ワイル代数の表現の研究にイジング模型(有理型のヴィラソロ代数の表現)を使える事が本研究によって分かり、庭崎によって研究が進められている。また、この研究の進展には千葉大の北詰氏、大阪大学の永友氏などとの研究連絡が大きな役割を果たした。