散在有限単純群と頂点作用素代数

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26個存在する散在型有限単純群の中でもっとも元の数が大きいものをモンスター単純群と呼んでいるが、本研究はこの単純群とそれに関係している"ムーンシャイン頂点作用素代数"の研究を中心に進めた。モンスター単純群の位数はほぼ10^<54>であり、巨大な群である。その構造は複雑で、その内部の構造や性質がほとんどわかっていないが、不思議な事に数理物理やモジュラー形式と関係がある事がわかってきている。本研究では不思議な性質の一つである"Y_<555>"と呼ばれるものを少し拡張した"21インボリューション"を利用してモンスター単純群をムーンシャイン頂点作用素代数V^aの自己同型群として実現する事に成功した。この構成はモンスター群とV^aの間に強い対応を与えておりムーンシャイン頂点作用素代数の構造からモンスター単純群の内部構造のいくつかが明らかにできた等の応用も得ている。さらに、上の対応から一般の頂点作用素代数に対しても調べ、最終的に次数2の元がなすグライス代数の長さ1/16のベキ等元が位数2の自己同型を与えている事を発見した。ムーンシャインの場合にはこのようなベキ等元が数多く含まれておりモンスター単純群の2A-インボリューションと1対1対応しており2A-インボリューションの不思議な性質がベキ等元として説明がつくなど著しい結果を与えてる。又メイヤーノイチェ予想の証明やノートン不等式等の群論を使って示していたものが頂点作用素代数の中で自然に説明できる事を示した。