確率非線形分散型方程式に対する解の存在と漸近挙動の解析

随机非线性分布方程解的存在性和渐近行为分析

• 批准号: 16654025
• 负责人: 堤 誉志雄
• 金额: $ 2.11万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-16654025/
• 关键词: stabilization by noise; 確率KdV方程式; 時空間ノイズ; 乗法性ノイズ; pathwise stability; Korteweg-de Vries方程式; 乗法性ホワイトノイズ; 解の時間減衰; 指数マルチンゲール; Doobの不等式; 確率非線形分散型方程式; 確立非線形分散型方程式; ホワイトノイズ; ブルガン空間; 関数解析的手法; ベゾフ型空間

平成18年度は,非線形分散型方程式であるKorteweg-de Vries方程式に,時間空間ノイズを乗法的に付加した揚合,解の時間無限大での漸近挙動がどのように変化するかを研究した.昨年度は時間ホワイトノイズを乗法的に付加した場合について研究したが,今年度はより物理的に自然な設定である時空間ノイズを考えた.時空間ノイズを付加した場合,まずその特異性により解の存在が問題となるが,今回は解の時間無限大での漸近挙動を解析することに焦点を絞るため,時間変数に関してはホワイトであるが空間変数に関しては正則である時空間ノイズを扱った.(空間変数に関して正則とは,空間変数のフーリエ成分が高周波帯で速く減衰するノイズのことである.)空間変数に関し正則なノイズに対しては,無限次元空間においても伊藤積分が数学的に厳密に定式化できるため,確率微分方程式の可解性に関しては扱いが容易となる.しかし,たとえ空間変数について正則であっても,すべてのフーリエ成分を含んでいるため,その解析は複雑である.このような乗法性ノイズを付加した場合に,ほとんどすべての個別解が時間無限大でゼロに収束する十分条件を,ノイズの共分散作用素に関する条件として与えた.この条件は,Caraballo, Liu and Mao(2003)が乗法性時間ノイズを付加した確率非線形放物型方程式に対して与えた条件の,時空間ノイズへの一般化となっている.このような現象は「ノイズによる安定化」(Stabilization by Noise)と呼ばれ,常微分方程式や放物型方程式では古くから知られていた.(たとえば,Has'minskii, Stochastic Stability of Differential Equations(1980)において指摘されている.)しかし,Korteweg-de Vries方程式のような保存系に対しては,このような結果はほとんど無かったと思われる.時空間ホワイトノイズのような空間変数に関して正則でない時空間ノイズは,今回の研究では扱うことができなかった.これは,今後の重要な課題であろう.

18 year は pp.47-53, nonlinear equation で dispersible あ る Korteweg - DE Vries equation に, time space ノ イ ズ を 乗 method に pay plus し た Yang, solution の time infinite で の asymptotic 挙 dynamic が ど の よ う に variations change す る か を research し た. Yesterday annual は time ホ ワ イ ト ノ イ ズ を 乗 method に pay plus し た occasions に つ い て research し た が, our は よ り physical に natural な set で あ spatial ノ る イ ズ を exam え た. When space ノ イ ズ を plus し た occasions, ま ず そ の specificity に よ り が problems solution の と な る が, today back to の は solution time is infinite で の asymptotic 挙 dynamic analytical す を る こ と に focus を ground る た め, time - several に masato し て は ホ ワ イ ト で あ る が space - several に masato し て は regular で あ spatial ノ る イ ズ を Cha っ た. (space - several に masato し て is Is と は, number of space - の フ ー リ エ composition が high frequency 帯 で speed く damping す る ノ イ ズ の こ と で あ る.) Space - several に masato し regular な ノ イ ズ に し seaborne て は, infinite dimensional space に お い て も が ITO integral mathematical に 厳 dense に demean で き る た め, differential equation of probability の solvability に masato し て は Cha い が easy と な る. し か し, た と え space - several に つ い て regular で あ っ て も, す べ て の フ ー リ エ composition contains を ん で い る た め, そ の After parsing は 雑 で あ る. こ の よ う な 乗 method sex ノ イ ズ を plus し に た situations, ほ と ん ど す べ て の が individual solution time is infinite で ゼ ロ に 収 beam す を る very conditions, ノ イ ズ の covariance function element に masato す る conditions と し て and え た. こ は の conditions, Caraballo, Liu and Mao (2003) が 乗 method sex time ノ イ ズ を plus し た probabilistic put content type nonlinear equations に し seaborne て and え の た conditions, when the space ノ イ ズ へ の generalization と な っ て い る. こ の よ う な phenomenon は "ノ イ ズ に よ る Stabilization" (Stabilization by Noise) と shout ば れ, ordinary differential equations や put content type equation で は ancient く か ら know ら れ て い た. (た と え ば, Has' minskii, Stochastic Stability of Differential Equations(1980)にお にお て criticized されて る る. し か し Korteweg - DE Vries equation is の よ う な preservation department に し seaborne て は, こ の よ う な results は ほ と ん ど no か っ た と think わ れ る. When space ホ ワ イ ト ノ イ ズ の よ う な space - several に masato し て regular で な spatial ノ い イ ズ は, today back to の research で は Cha う こ と が で き な か っ た. こ れ は, future の important topic な で あ ろ う.

项目成果

Probabilistic analysis of directed polymers in a random environment: a review

• DOI: 10.2969/aspm/03910115
• 发表时间: 2004
• 作者: F. Comets;T. Shiga;N. Yoshida

Brownian directed polymers in random environment,

随机环境中的布朗定向聚合物，

• 发表时间: 2005
• 期刊: Communications in Mathematical Physics Vol. 254
• 作者: F.Comets;N.Yoshida
• 通讯作者: N.Yoshida

Orlicz norm equivalence for the Ornstein-Uhlenbeck operator

Ornstein-Uhlenbeck 算子的 Orlicz 范数等价

• 发表时间: 2004
• 期刊: Stochastic Analysis and Related Topics in Kyotoed (ed. by H.Kunita et al.)
• 作者: Shigekawa;Ichiro
• 通讯作者: Ichiro

Directed polymers in random enviroment are diffusive at weak disorder

随机环境中的定向聚合物在弱无序状态下具有扩散性

• 发表时间: 2006
• 期刊: Ann.Probab 34・5
• 作者: F.Comets;N.Yoshida
• 通讯作者: N.Yoshida

On equivalence of $Lsp p$-norms related to Schrodinger type operators on Riemannian manifolds

黎曼流形上与薛定谔型算子相关的 $Lsp p$-范数的等价性

• 发表时间: 2006
• 期刊: Probab.Theory Related Fields 135・4
• 作者: 川崎英文;川崎敏和;川崎英文;川崎英文;川崎敏和(監訳);T.Kawasaki;川崎敏和;T.Mikami;Hitoshi Isii;Hitoshi Isii;Hitoshi Isii;Toshio Mikami;Toshio Mikami;I.Shigekawa
• 通讯作者: I.Shigekawa