非線形波動・分散型方程式の幾何学的対称性と弱解の構造

非线性波/色散方程的几何对称性和弱解结构

• 批准号: 23244012
• 负责人: 堤 誉志雄
• 金额: $ 7.9万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-23244012/
• 关键词: 非線形波動・分散型方程式; Morawetz型の評価式; 最小爆発解論法; 基底状態; 大域的挙動; Lugiato-Lefever方程式; 定常解の漸近安定性; Strichartz評価式

研究分担者の中西はシカゴ大学のSchlag氏とともに,非線形波動方程式および非線形シュレディンガー方程式に対し,基底状態の近傍にある解の大域的挙動を研究した.同氏が1999年に開発したMorawetz型の評価式とKenig-Merleによって提唱された最小爆発解論法をあわせることにより,基底状態よりエネルギー準位が高い解に対しても,大域的漸近挙動を決定することに成功した.基底状態の近傍とはいえ,基底状態よりエネルギーが高い一般解の大域的漸近挙動を決定した研究はこれが初めてである.また,研究代表者の堤は,数理解析研究所の宮路智行氏および広島大学の大西勇氏と共同で,Lugiato-Lefever方程式の定常解の漸近安定性を研究した.Lugiato-Lefever方程式は,定数外力と減衰項を持つ非線形シュレディンガー方程式であり,ハミルトン系としての構造を持たないため,従来の研究方法は必ずしも有効ではなかった.非線形放物型方程式の場合,解析半群の正則性と生成作用素の分数べきの理論を適用することにより,定常解の漸近安定性が得られていた.しかし,これらの理論は非線形波動・分散型方程式に対しては適用できない.今回は,定常解の近傍における線形化作用素の精密な解析を行ない,複素ポテンシャルを持つ線形シュレディンガー方程式に対するStrichartz評価式を証明することにより漸近安定性の証明に成功した.

Nakanishi研究人员与芝加哥大学的Schlag一起研究了非线性波方程和非线性Schrodinger方程的基态解决方案的全球行为。通过将1999年开发的Morawetz型评估方程与Kenig-Merle提出的最低爆炸解决方案理论相结合，他成功地确定了全球渐近行为，即使对于能量水平高于基态的解决方案也是如此。这是他第一次确定能量水平高于基态的通用解决方案的全球渐近行为，即使在基态附近。他的研究人员Tsutsumi还与数学分析研究所的Miyaji Tomoyuki和广岛大学的Onishi Isamu合作，他进入了Lugiato-Lefever过程。我们研究了方程稳态溶液的渐近稳定性。 Lugiato-Lefever方程是具有恒定外力和抑制术语的非线性Schrödinger方程，并且没有作为哈密顿系统的结构，因此常规的研究方法并不总是有效的。在非线性抛物线方程的情况下，稳态溶液的渐近稳定性是通过应用分析半群的规律性和发电算子的分级性的幂理论获得的。但是，这些理论不能应用于非线性波分散方程。在本文中，我们通过对稳态解决方案附近的线性化算子进行精确分析，成功地证明了渐近稳定性，并证明了具有复杂电势的线性Schrodinger方程的Strichartz评估方程。