確率的摂動項を持つ非線形分散型方程式の解析

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確率的外力項(stochastic forcing term)を持つKorteweg-de Vries方程式は,雑音のかかったプラズマ中を通過するイオン音波ソリトンを記述するなど,様々な分野で数理物理的モデル方程式として用いられている重要な方程式である.昨年度は周期境界条件の下で,Besov型のBourgain空間を用いて,時間変数に対してはホワイトノイズであり,空間変数に関してはホワイトノイズにかなり近い確率項を持つ場合の初期値問題を考え,解の一意存在を証明した.しかし,扱える確率摂動項とホワイトノイズの間には,必ずしも小さいとは言えないギャップがあった.今年度は,Besov型のBourgain空間の定義において,2進分解の取り方を変更することにより,新しい不等式を証明することに成功した.この不等式は,通常よく使われている2進分解から定義されるBesov型Bourgain空間では成立しないと思われ,調和解析的にも興味深いものである.今回この不等式を用い,時間変数についてはホワイトであり,空間変数についてはホワイトにいくらでも近い確率摂動項に対し,初期値問題の強い解の一意存在定理を証明した.時間変数と空間変数の両方についてホワイトである確率項を扱うことは,依然未解決問題であり今後の課題であろう.しかし,コンピュータによる数値シミュレーションは普通強い解を計算することから,ホワイトノイズにいくらでも近いノイズに対し,強い解を扱うことが可能な数学的定理を証明できたことは,数値シミュレーションを理論的に補強する際に応用できるのではないかと期待される.