確率的摂動項を持つ非線形分散型方程式の解析

具有随机扰动项的非线性分布方程的分析

• 批准号: 13874021
• 负责人: 堤 誉志雄
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874021/
• 关键词: 確率Korteweg-de Vries方程式; 初期値問題; 強い解の一意存在定理; ホワイトノイズ; Besov型Bourgain空間; 周期境界条件; 確立Korteweg-de Vries方程式; 解の一意存在; ブラウン運動の軌道の滑らかさ; ブラウン運動; Besov空間

確率的外力項(stochastic forcing term)を持つKorteweg-de Vries方程式は,雑音のかかったプラズマ中を通過するイオン音波ソリトンを記述するなど,様々な分野で数理物理的モデル方程式として用いられている重要な方程式である.昨年度は周期境界条件の下で,Besov型のBourgain空間を用いて,時間変数に対してはホワイトノイズであり,空間変数に関してはホワイトノイズにかなり近い確率項を持つ場合の初期値問題を考え,解の一意存在を証明した.しかし,扱える確率摂動項とホワイトノイズの間には,必ずしも小さいとは言えないギャップがあった.今年度は,Besov型のBourgain空間の定義において,2進分解の取り方を変更することにより,新しい不等式を証明することに成功した.この不等式は,通常よく使われている2進分解から定義されるBesov型Bourgain空間では成立しないと思われ,調和解析的にも興味深いものである.今回この不等式を用い,時間変数についてはホワイトであり,空間変数についてはホワイトにいくらでも近い確率摂動項に対し,初期値問題の強い解の一意存在定理を証明した.時間変数と空間変数の両方についてホワイトである確率項を扱うことは,依然未解決問題であり今後の課題であろう.しかし,コンピュータによる数値シミュレーションは普通強い解を計算することから,ホワイトノイズにいくらでも近いノイズに対し,強い解を扱うことが可能な数学的定理を証明できたことは,数値シミュレーションを理論的に補強する際に応用できるのではないかと期待される.

The external force term of the certainty (stochastic forcing term)を holds を Korteweg-de Vries equation は, 雑 の か か っ た プ ラ ズ マ in を through す る イ オ ン sonic ソ リ ト ン を account す る な ど, others 々 な eset で mathematical physics モ デ ル equation と し て in い ら れ て い る important な equation で あ る. Yesterday under の で annual は periodic boundary conditions, Besov type の を Bourgain space with い て, time - several に し seaborne て は ホ ワ イ ト ノ イ ズ で あ り, space - several に masato し て は ホ ワ イ ト ノ イ ズ に か な り nearly い item of probabilistic を つ occasions on early の numerical problem を え, solution in a single minded の を exists to prove that し た. し か し, Cha え る rate, move items Between と ホ ワ イ ト ノ イ ズ の に は, will ず し も small さ い と は said え な い ギ ャ ッ プ が あ っ た. Our は, Besov type の Bourgain space の definition に お い て, 2 into the decomposition の get り party を - more す る こ と に よ り, new し を い inequalities proved す る こ と に successful し た. こ の inequality は, usually よ く make わ れ て い る 2 into decomposition か ら definition さ れ る Besov type Bourgain space で は established し な い と Thinking of われ, the に に of harmonic analysis is of great interest to the われ である である である である である. Today back こ を の inequalities with い, time - several に つ い て は ホ ワ イ ト で あ り, space - several に つ い て は ホ ワ イ ト に い く ら で も nearly い probabilistic, move items に し seaborne, numerical の の strong い solutions are the first one means existence theorem を prove し た. Count と space - time - の struck party に つ い て ホ ワ イ ト で あ る item of probabilistic を Cha う こ と は, still unresolved problems で あ り の topics in future で あ ろ う. し か し, コ ン ピ ュ ー タ に よ る the numerical シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は normal を い solution calculation す る こ と か ら, ホ ワ イ ト ノ イ ズ に い く ら で も nearly い ノ イ ズ に し seaborne, strong い solution を Cha う こ と が may な mathematical proof を で き た こ と は, the numerical シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を theory に reinforcing す る interstate に 応 with で き る の で は な い か と expect さ れ る.

项目成果

D.H.Kim, M.Takeda: "Some variational formulae on additive functionals symmetric Markov chains"Proc. Amer. Math. Soc.. (発表予定).

D.H.Kim，M.Takeda：“加性泛函对称马尔可夫链的一些变分公式”Proc.Amer。

M.Takeda: "Conditional gaugeability and subcriticality of generalized Schrodinger operators"J. Funct. Anal.. (発表予定).

M.Takeda：“广义薛定谔算子的条件可测性和亚临界性”J.Funct。

A.de Bouard, A.Debusshce, Y.Tsutsumi: "Periodic solutions for the Korteweg-de Vries equation driven by white noise"SIAM J.Math.Anal.. (発表予定).

A.de Bouard、A.Debusshce、Y.Tsutsumi：“白噪声驱动的 Korteweg-de Vries 方程的周期解”SIAM J.Math.Anal..（待提交）。

D.-H.Kim, M.Takeda, J.-G.Ying: "Some variational formulas on additive functionals of symmetric Markov chains"Proc.Amer.Math.Soc.. 130(7). 2115-2123 (2002)

D.-H.Kim、M.Takeda、J.-G.Ying：“对称马尔可夫链的加性泛函的一些变分公式”Proc.Amer.Math.Soc.. 130(7)。

M.Takeda: "Large deviation principle for additive functionals of Brwonian motion corresponding to Kato measures"Potential Anal.. 19(1). 51-67 (2003)

M.Takeda：“对应于加藤测量的布朗运动加性泛函的大偏差原理”潜在分析.. 19(1)。