確率的効果が加えられた非線形分散型及び波動方程式の解析

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Burq and Tzvetkovにより,確率的な効果を持つ非線形波動方程式の初期値問題は,決定論的な場合より弱い正則性の空間で可解となることが知られている.今回はこのような先行研究をもとに,非線形波動方程式で重要な役割を果たしてきた零条件と確率効果の関係を調べた.零条件は,波動方程式のローレンツ不変性と密接な関係があり,これを満たす非線形性においては会の特異性の相殺が生じ,通常考えられるものより良い正則性が成立する.しかし,決定論的な零条件と確率効果の双方が同時にうまく働くかどうかは知られていなかった.確率効果により解の正則性が改善される直観的な理由は,特異性の集合ほ非常に小さいため,確率効果によって揺するとその特異な集合に解が接触することはまれにしか起こらなくなるからである.しかし,確率効果による擾乱は零条件による特異性の相殺を弱める可能性もあり,双方の効果を研究することはきわめて興味深い.Zhong氏は,L^2空間の設定では,零条件と確率効果は必ずしも適合しないことを発見した.そこで,彼女はさらに,Grunrockによって導入されたフーリエ波数空間でL^p(p>2)となる関数の空間において,零条件と確率効果がどのような役割を果たすか研究した.その結果,Grunrockの空間で考えると,零条件と確率効果がうまく同時に働くようになり,通常考えられるより弱い正則性の空間において初期値問題が可解となることを示した.その証明においては,非線形性の評価を与える,双線形評価が重要な役割を果たすが,彼女が設定した仮定を弱めるとその双線形評価式が成立しない場合があることも証明した.このことは,彼女が得た定理は精密なものであることを示している.