小さいパラメータを含む非線形方程式の初期値問題

1.小さいパラメータεをふくむ非線形微分方程式の初期値問題{x+Ps(u,ε)}du/dx+q(x)u=Υ(x),u(1)=bにおいて、wasowの条件「Ps(u,ε)はεについてS次の多項式で、ε^mの係数Pm(u)はuについてαm次の多項式で、αm≦m」がなりたたない場合、すなわちαm>mの場合について、0≦×≦1における解を構成する。はじめにε=0の場合の解V_0を求め、新しいパラメータξ,ζを用いて、変数変換を行ない、得られた方程式の形式解を求める。次にこの形式解の収束性を証明し、更に仮定(αk/k-αm/m)q(0)>1/m-1/k(m=1,…k-1)のもとで、x(ξ,εξ^<-Sog.>)=0が一意に解ξ=g(ε)=(Bkε^k)^<1/kSogo>(1+0(1))(ε→0)をもつことを証明する。2.双代数上の余加群代数が不変環上正規底をもつガロア拡大なる特徴付けが知られている。(土井-竹内)。これの相対版を示し、同時に双対化を考え、さらにこれらをホップ代数の構造論に応用する。3.可換ホップ代数がすべての余イデアル部分代数上平坦なこと、および非可換ホップ代数が余イデアル部分代数上忠実平坦なるための必要十分条件が示されている。あわせてアフィン群の基本定理の簡単な証明を行なう。

1.小さいパラメータεをふくむ非線形微分方程式の初期値問題{x+Ps(u,ε)}du/dx+q(x)u=Υ(x),u(1)=bにおいて、wasowの条件「Ps(u,ε)はεについてS次の多項式で、ε^mの係数Pm(u)はuについてαm次の多項式で、αm≦m」がなりたたない場合、すなわちαm>mの場合について、0≦×≦1における解を構成する。はじめにε=0の場合の解V_0を求め、新しいパラメータξ,ζを用いて、変数変換を行ない、得られた方程式の形式解を求める。次にこの形式解の収束性を証明し、更に仮定(αk/k-αm/m)q(0)>1/m-1/k(m=1,…k-1)のもとで、x(ξ,εξ^<-Sog.>)=0が一意に解ξ=g(ε)=(Bkε^k)^<1/kSogo>(1+0(1))(ε→0)をもつことを証明する。2.双代数上の余加群代数が不変環上正規底をもつガロア拡大なる特徴付けが知られている。(土井-竹内)。これの相対版を示し、同時に双対化を考え、さらにこれらをホップ代数の構造論に応用する。3.可換ホップ代数がすべての余イデアル部分代数上平坦なこと、および非可換ホップ代数が余イデアル部分代数上忠実平坦なるための必要十分条件が示されている。あわせてアフィン群の基本定理の簡単な証明を行なう。