概均質ベクトル空間の研究

本研究は代数群、リー代数または、それに関する対称空間、概均質ベクトル空間やヘッケ環などの上で定義される特殊関数を主に表現論の立場から研究したものであり、表現論はもとより整数論や数理物理学と関連した多くの成果が得られた。(1)行者は有限体上定義された概均質ベクトル空間を研究し「レフシェッツ原理」の立場から、総体不変式の複素巾にあたるもののフーリエ変換の決定に成功した(ベルギーのデネフ氏との共同研究)。この結果は有限体上の概均質ベクトル空間の基本定理と呼ぶべきものであり「数論的不変式論の構成」という目標に向けての実質的進歩である。(2)さらに行者は(1)の結果の表現論への応用を見出し、特に一般化されたヴァーマ加群の既約性、および、それらの間の準同形写像との関連を明らかにした。(3)後者はすでにルスティックの意味のセルとの関連が知られていたが、行者はさらにセルとヘッケ環のモジュラー表現との間の関係を与えた。(4)また、この研究の過程で、永田環を係数環とするモジュラー表現の一般論を構成した。(5)西山と行者は共同してワイル群の既約表現に対して、ある種の不変量を定義し、コンピューターを用いて、これを詳しく調べた。とくに、この不変量がセルおよびヘッケ環のモジュラー表現と密接に関連していることを示し、(3)の研究をさらに深化・発展させた。(6)行者は京大数理解析研究所において概均質ベクトル空間をテーマとした短期共同研究を主催し、(1)の研究を含む多くの成果につき国内の研究者と情報を交換した。この研究集会の報告集は準備中であり、当該分野の発展に大きく寄与するものと期待される。(7)以上では詳述しなかったが、(5)も含め研究分担者の間の協力関係はきわめて活発であり、実り豊かなものであったことを報告しておく。

本研究は代数群、リー代数または、それに関する対称空間、概均質ベクトル空間やヘッケ環などの上で定義される特殊関数を主に表現論の立場から研究したものであり、表現論はもとより整数論や数理物理学と関連した多くの成果が得られた。(1)行者は有限体上定義された概均質ベクトル空間を研究し「レフシェッツ原理」の立場から、総体不変式の複素巾にあたるもののフーリエ変換の決定に成功した(ベルギーのデネフ氏との共同研究)。この結果は有限体上の概均質ベクトル空間の基本定理と呼ぶべきものであり「数論的不変式論の構成」という目標に向けての実質的進歩である。(2)さらに行者は(1)の結果の表現論への応用を見出し、特に一般化されたヴァーマ加群の既約性、および、それらの間の準同形写像との関連を明らかにした。(3)後者はすでにルスティックの意味のセルとの関連が知られていたが、行者はさらにセルとヘッケ環のモジュラー表現との間の関係を与えた。(4)また、この研究の過程で、永田環を係数環とするモジュラー表現の一般論を構成した。(5)西山と行者は共同してワイル群の既約表現に対して、ある種の不変量を定義し、コンピューターを用いて、これを詳しく調べた。とくに、この不変量がセルおよびヘッケ環のモジュラー表現と密接に関連していることを示し、(3)の研究をさらに深化・発展させた。(6)行者は京大数理解析研究所において概均質ベクトル空間をテーマとした短期共同研究を主催し、(1)の研究を含む多くの成果につき国内の研究者と情報を交換した。この研究集会の報告集は準備中であり、当該分野の発展に大きく寄与するものと期待される。(7)以上では詳述しなかったが、(5)も含め研究分担者の間の協力関係はきわめて活発であり、実り豊かなものであったことを報告しておく。