2次形式の表現について

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二次形式の表現についての研究の内、特に変数の数が一致しているときを考察の対象とし、変数の変域を拡張したとき変数変換で互いに移りあえるとき元の二次形式の間にどのような関係があるかを調べた。問題を以下のようにGLの有限部分群の特殊な整表現の話と捉え直す。Kを有理数体上有限次ガロア拡大体としOをその整数環、ΓをK/Qのガロウ群とする。Gをn次正則行列の有限部分群でGの全ての元gはその逆行列も共にOの元を要素に持つものとする。更にGはΓ不変と仮定する。即ちΓの元σとGに属する行列gに対してgの要素を一斉にσで移した行列も再びGに属するものとする。このときGを有理整数環上の格子LのOに係数拡大したものOLに作用させるとLのある直和分解が存在してGの元は1の巾根倍を除いて各(有理整数環上の)直和因子の間の同型を引き起こしていることが期待される。この予想をΓが巾零群の時に解決し、更にn=2の時にΓに何の条件も加えず解決した。これによってこの問題が以前から創造されていたように代数群の問題ではなく整数論の問題であることがはっきりとした。例えばn=2の時には有理数体上2しか分岐しないガロア群が3次の対称群に同型な代数体の非存在が本質的にきいてくる。また問題の本質的部分がどこにあるかもわかった。