対称性をもつシンプレクティック多様体上の幾何学と解析学の研究

対称性を持つシンプレクティック多様体上の運動量写像は, 単に, 代数学とシンプレクティック幾何学の学際的な興味深い概念と言うにとどまらず, 対称性を持つハミルトン系に対して保存量を与えること(ネーターの定理)からも, その重要性は疑いの余地がない. この運動量写像の幾何学的性質を研究し, 解析学へ応用を図るべく, 我々は次の2つのプログラムを用意した.1.運動量写像の持つ固有の性質を純粋に抽出すべく, その考え得る空間を一般化する.2.シンプレクティック幾何学の枠組みにおいて運動量写像の一般化を推し進める.1.に関しては, シンプレクティック多様体を一般化した空間として局所リー環構造付き多様体を考えた. その多様体に群が作用しているとき, 運動量写像を類推的に定義でき, ネーターの定理の成立と, 同変性を判定する定理を得た(研究発表(1)Local Lie algebra structure and momentum mapping参照). この局所リー環構造の同変運動量写像による簡約化についても研究し, 簡約化できるための必要十分条件を得た(Reduction of local Lie algebra structures投稿中).2.運動量写像の同変性とそれがリー・ポアソン構造をもつリー環の双対空間への写像としてポアソン写像であることは同値である. また, リー群の余接束は, 自然なシンプレクティック構造を持つのみならず, グルポイド構造をも持っている. リー群の余接束を一般化したシンプレクティック・グルポイドの作用に対し, 運動量写像を一般化したモーメントを定義できる. モーメントの幾何学的性質, 特にその簡約化定理の成立を証明することが出来た(研究発表(2)Moments and reduction for symplectic groupoids参照).

対称性を持つシンプレクティック多様体上の運動量写像は, 単に, 代数学とシンプレクティック幾何学の学際的な興味深い概念と言うにとどまらず, 対称性を持つハミルトン系に対して保存量を与えること(ネーターの定理)からも, その重要性は疑いの余地がない. この運動量写像の幾何学的性質を研究し, 解析学へ応用を図るべく, 我々は次の2つのプログラムを用意した.1.運動量写像の持つ固有の性質を純粋に抽出すべく, その考え得る空間を一般化する.2.シンプレクティック幾何学の枠組みにおいて運動量写像の一般化を推し進める.1.に関しては, シンプレクティック多様体を一般化した空間として局所リー環構造付き多様体を考えた. その多様体に群が作用しているとき, 運動量写像を類推的に定義でき, ネーターの定理の成立と, 同変性を判定する定理を得た(研究発表(1)Local Lie algebra structure and momentum mapping参照). この局所リー環構造の同変運動量写像による簡約化についても研究し, 簡約化できるための必要十分条件を得た(Reduction of local Lie algebra structures投稿中).2.運動量写像の同変性とそれがリー・ポアソン構造をもつリー環の双対空間への写像としてポアソン写像であることは同値である. また, リー群の余接束は, 自然なシンプレクティック構造を持つのみならず, グルポイド構造をも持っている. リー群の余接束を一般化したシンプレクティック・グルポイドの作用に対し, 運動量写像を一般化したモーメントを定義できる. モーメントの幾何学的性質, 特にその簡約化定理の成立を証明することが出来た(研究発表(2)Moments and reduction for symplectic groupoids参照).