ポアソン亜群の総合的研究

シンプレクティック亜群(グルポイド)の概念はポアソン多様体のシンプレクティック実現化(symplectic realization)の一つの方向である。任意のポアソン多様体をシンプレクティック実現化することは一般には不可能であるが,或る付加的な構造を持ったポアソン多様体をシンプレクティック亜群の中へ取り込むことが可能か否かを問題にし,付加的な構造を持ったポアソン多様体としてポアソンリ-群を研究の対象に据えた。可換ではなく半単純でもなく次元が2である(ax+b)ー群(2次元アフィン群とも呼ばれる)についてその乗法的ポアソン構造のうちあるものにはシンプレクティックグルポイドが二重に入る(double groupoid)ことを証明した{K.Mikami,Symplectic double groupoids over Poisson(ax+b)ーgroups,Trans.Amer.Math.Soc.324,447ー463(1991)}。一般のハイゼンベルグ群について乗法的ポアソン構造のうちあるものにはシンプレクティック2重亜群が構成できることがSzymczak and Zakrzewski,Quantum deformations of the Heisenberg group obtained by geometric quantization(preーprint)によって示された。2次元アフィン群の場合と同様,何故ハイゼンベルグ群の場合もシンプレクティック2重亜群が構成できない乗法的ポアソン構造のタイプが存在するのかとの疑問がある。そこで一般ハイゼンベルグ群の乗法的ポアソンテンソル全体の代数的構造を研究し次の結果を得た{K.Mikami and F.Narita,Dual Lie algebras of Heisenberg Poisson Lie groups(preーprint)}。

シンプレクティック亜群(グルポイド)の概念はポアソン多様体のシンプレクティック実現化(symplectic realization)の一つの方向である。任意のポアソン多様体をシンプレクティック実現化することは一般には不可能であるが,或る付加的な構造を持ったポアソン多様体をシンプレクティック亜群の中へ取り込むことが可能か否かを問題にし,付加的な構造を持ったポアソン多様体としてポアソンリ-群を研究の対象に据えた。可換ではなく半単純でもなく次元が2である(ax+b)ー群(2次元アフィン群とも呼ばれる)についてその乗法的ポアソン構造のうちあるものにはシンプレクティックグルポイドが二重に入る(double groupoid)ことを証明した{K.Mikami,Symplectic double groupoids over Poisson(ax+b)ーgroups,Trans.Amer.Math.Soc.324,447ー463(1991)}。一般のハイゼンベルグ群について乗法的ポアソン構造のうちあるものにはシンプレクティック2重亜群が構成できることがSzymczak and Zakrzewski,Quantum deformations of the Heisenberg group obtained by geometric quantization(preーprint)によって示された。2次元アフィン群の場合と同様,何故ハイゼンベルグ群の場合もシンプレクティック2重亜群が構成できない乗法的ポアソン構造のタイプが存在するのかとの疑問がある。そこで一般ハイゼンベルグ群の乗法的ポアソンテンソル全体の代数的構造を研究し次の結果を得た{K.Mikami and F.Narita,Dual Lie algebras of Heisenberg Poisson Lie groups(preーprint)}。