無限次元ポアソンリー群の可積分性

ポアソン構造の階数が一定である時,ハミルトンベクトル場の全体は可積分系をなし葉層構造を与える。他方,ある種の葉層構造には第二種の特性類(Godbillon-Vey class)がコホモロジー類として一意に決まることが知られており,葉層構造を研究する位相幾何学において多くの視点から研究されている。三上は,ポアソン構造に付随する葉層構造にGodbillon-Vey classが与えられるのか否か,与えられるとしたらどのようなメカニズムかを研究し,ポアソン構造に付随する葉層構造のGodbillon-Vey classをポアソン幾何学の言葉でそしてポアソン構造そのもので記述できることを解明した。この特性類は微分形式のレベルで自由度を持つが,その自由度は非退化な計量に対応づけられる事も解明した。これらの結果はプレプリントGodbillon-Vey classes of symplectic foliationsとして投稿準備中である。このようにして得られたポアソン構造から第二種の特性類への対応の諸性質の研究とポアソン構造よりもっと一般的な構造への理論の拡張を現在鋭意研究中である。Nambu構造は2変数のPoisson構造を多変数に拡張したものであるが,そのテンソル場はいつも局所的には分解的(decomposable)であることか予想されていた。三上はNambu構造の満たす一般化されたJacobi律から,テンソル代数で知られている分解条件を満たす事を初等的な計算で明らかにすることにより分解可能であることの一つの証明を与えた。この結果はプレプリントAnother proof of decomposability of Nambu-Poisson bracketsとして投稿準備中である。

ポアソン構造の階数が一定である時,ハミルトンベクトル場の全体は可積分系をなし葉層構造を与える。他方,ある種の葉層構造には第二種の特性類(Godbillon-Vey class)がコホモロジー類として一意に決まることが知られており,葉層構造を研究する位相幾何学において多くの視点から研究されている。三上は,ポアソン構造に付随する葉層構造にGodbillon-Vey classが与えられるのか否か,与えられるとしたらどのようなメカニズムかを研究し,ポアソン構造に付随する葉層構造のGodbillon-Vey classをポアソン幾何学の言葉でそしてポアソン構造そのもので記述できることを解明した。この特性類は微分形式のレベルで自由度を持つが,その自由度は非退化な計量に対応づけられる事も解明した。これらの結果はプレプリントGodbillon-Vey classes of symplectic foliationsとして投稿準備中である。このようにして得られたポアソン構造から第二種の特性類への対応の諸性質の研究とポアソン構造よりもっと一般的な構造への理論の拡張を現在鋭意研究中である。Nambu構造は2変数のPoisson構造を多変数に拡張したものであるが,そのテンソル場はいつも局所的には分解的(decomposable)であることか予想されていた。三上はNambu構造の満たす一般化されたJacobi律から,テンソル代数で知られている分解条件を満たす事を初等的な計算で明らかにすることにより分解可能であることの一つの証明を与えた。この結果はプレプリントAnother proof of decomposability of Nambu-Poisson bracketsとして投稿準備中である。