特殊函数と代数構造

本研究では、特殊函数と代数構造の結びつきに関し、いくつかの新たな側面を開拓した。本研究で得た成果の一部と、その現在の状況は下の通りである。1:野海は、特殊函数のqーanalogueの立場から、量子群上の等質空間の球函数に関する研究を行った。文献1は、Jacobi多項式の多様なqーanalogueと量子群SU_q(2)上の等質空間との本質的な関連を論じたものである。多変数の特殊函数に関連しても、等質空間GL(n)/SO(n),GL(2n)/Sp(2n)の量子群analogueを考察し、その帯球函数がMacdonald対称多項式の幾何学的実現を与えることを発見した(論文準備中)。2:また、量子群上の代数解析の基礎付けという観点から、量子一般線型群上で微分作用素の対応物を構成し、それに対するCapelli恒等式を得た(文献3)。Capelli恒等式は、Lie環の包絡環の中心元と不変微分作用素の関係を明示し、古典的不変式論と特殊函数論を結びつける重要な役割を演じてきたものである。3:堀川は、Grassmann多様体に付随するGelfand超幾何函数の隣接関係の対称性を研究した(文献4)。更にその立場から、Gaussの超幾何級数のqーanalogueを考察し、その隣接関係として量子群GL_q(4)の対称性が現れることを発見した(文献5)。堀川及び野海は現在、これを量子Grassmann多様体によって意味付けし、多変数に拡張する研究を行っている。4:木村は、多時間変数の確定特異点型Hamilton系の特異点の周りの標準形を考察し、Painleve超越函数の多変数への拡張であるGarnier方程式系の解に対し、特異点の周りでの挙動を調べることに成功した(文献6)。また、Gelfand超幾何函数に対しても、その合流に関する研究を現在行っている。

本研究では、特殊函数と代数構造の結びつきに関し、いくつかの新たな側面を開拓した。本研究で得た成果の一部と、その現在の状況は下の通りである。1:野海は、特殊函数のqーanalogueの立場から、量子群上の等質空間の球函数に関する研究を行った。文献1は、Jacobi多項式の多様なqーanalogueと量子群SU_q(2)上の等質空間との本質的な関連を論じたものである。多変数の特殊函数に関連しても、等質空間GL(n)/SO(n),GL(2n)/Sp(2n)の量子群analogueを考察し、その帯球函数がMacdonald対称多項式の幾何学的実現を与えることを発見した(論文準備中)。2:また、量子群上の代数解析の基礎付けという観点から、量子一般線型群上で微分作用素の対応物を構成し、それに対するCapelli恒等式を得た(文献3)。Capelli恒等式は、Lie環の包絡環の中心元と不変微分作用素の関係を明示し、古典的不変式論と特殊函数論を結びつける重要な役割を演じてきたものである。3:堀川は、Grassmann多様体に付随するGelfand超幾何函数の隣接関係の対称性を研究した(文献4)。更にその立場から、Gaussの超幾何級数のqーanalogueを考察し、その隣接関係として量子群GL_q(4)の対称性が現れることを発見した(文献5)。堀川及び野海は現在、これを量子Grassmann多様体によって意味付けし、多変数に拡張する研究を行っている。4:木村は、多時間変数の確定特異点型Hamilton系の特異点の周りの標準形を考察し、Painleve超越函数の多変数への拡張であるGarnier方程式系の解に対し、特異点の周りでの挙動を調べることに成功した(文献6)。また、Gelfand超幾何函数に対しても、その合流に関する研究を現在行っている。