アーベル多様体の整数論

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2次元アーベル多様体は、一般に、種数2の超楕円曲線のヤコビ多様体であることが知られている。2次元アーベル多様体の整数論的性質を調べるための一つの手段として、種数2の超楕円曲線の合同Zeta関数を計算するプログラムを作り、幾つかの種数2の超楕円曲線の例について、そのZeta関数を計算したところ、それらのヤコビ多様体(2次元アーベル多様体)がsimpleでない(2つの楕円曲線(1次元アーベル多様体)の直積に同種である)という予想を得た。この様なヤコビ多様体の分解についての総括的な知識は、既に多くが知られているのだが、実際にそれを用いて判定するのには非常に厄介な計算が必要なため、なかなか判定できない。また、幾つかの分解の型に関して具体的な形が与えられているのだが、ここで得た例はそれらに合わないもの、すなわち、新しい分解の型をもつ具体例である可能性があった。全てではないが、その幾つかについては、分解の様子を記述することに成功した。また、非常に大きな位数の有理等分点を持つ2次元アベール多様体を構成した。これは、無限に多くの存在の示されているものとして、現在、最大の位数のものである。計算の道具にもなったものだが、大阪大学理学部の山本芳彦教授との共同研究の中で、ヤコビ多様体の点の位数の計算に、実2次体の連分数展開の理論との類似点を見つけ、ヤコビ多様体における連分数展開の理論を構築した。これは、Abel,E.Artinらの研究の再発見であったが、それ等を包括し、更に新しいものを含むものである。以上の研究成果は、研究集会、談話会等の場での発表はしているが、論文としては、現在、投稿中あるいは投稿準備中である。