擬正因子の数値的性質

射影代数多様体上の擬正因子がいかなる条件を満たすときにザリスキ分解ができるのかという問題を消滅定理を使ってどこまで解明できるか、というのがこの研究の目的であった。筆者はシグマ不変量を使って、多様体上の点に対して因子がそこでnefということを定義し、いわゆる固定点自由化定理の局所版というべきものを証明しようとした。これは最近の藤田予想の研究に近いところがあるが、こちらの条件はかなり悪いところから出発している。証明は通常どうりその点でのブロ-アップをし、さらにブロ-アップをしてある程度の大域切断ができ、消滅定理が使える状況にまでもっていく。するとある素因子が見つかって、そこへの制限写像が、全射になることまではわかる。しかしその素因子上の切断がたくさんあるかどうかはいろいろやってみたが、この局所的にnefという性質からでは今のところコントロールできそうにない。しかしその素因子のもとの多様体への像は高々有理特異点しか持ち得ないことがある種の消滅定理の結果わかった。この定理は標準特異点が有理特異点であることを示す新しい証明を与えている。

射影代数多様体上の擬正因子がいかなる条件を満たすときにザリスキ分解ができるのかという問題を消滅定理を使ってどこまで解明できるか、というのがこの研究の目的であった。筆者はシグマ不変量を使って、多様体上の点に対して因子がそこでnefということを定義し、いわゆる固定点自由化定理の局所版というべきものを証明しようとした。これは最近の藤田予想の研究に近いところがあるが、こちらの条件はかなり悪いところから出発している。証明は通常どうりその点でのブロ-アップをし、さらにブロ-アップをしてある程度の大域切断ができ、消滅定理が使える状況にまでもっていく。するとある素因子が見つかって、そこへの制限写像が、全射になることまではわかる。しかしその素因子上の切断がたくさんあるかどうかはいろいろやってみたが、この局所的にnefという性質からでは今のところコントロールできそうにない。しかしその素因子のもとの多様体への像は高々有理特異点しか持ち得ないことがある種の消滅定理の結果わかった。この定理は標準特異点が有理特異点であることを示す新しい証明を与えている。