整数論の図象的研究

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整数論は今日に至るまで、困難な問題を次々に解決し、新分野を拓きながら進展を続け、すでに十分な成果を挙げ終えたかの感さえある。しかし、振り返ってみると、なぜそのような定理が成り立つのか、あるいは、なぜそのような方法で証明ができるのか、更には、現在得られている解決が、果たして問題の重要な部分を十分解明したものであるのか、といった種類の疑問が、至る所残されたままになっていることがわかる。本研究は、本来、その種の疑問を一つずつ取り上げて解明したいという考えに基づいて計画されたものである。さしあたり考察の対象となるのは、2次拡大のノルム定理、および代数体の共役差積が平方類に入るという現象であるが、これらはいずれも直ちには扱うことが困難である。そのため、平成8年度は予備的段階として、代数体の性質を図形によって表現することに重点をおいた。それはいわゆる「数の幾何学」と称せられる考え方のひとつであり、代表者が1980年代に高次ベキ剰余の相互法則の新しい意味付けと証明に成功した方法である。本研究ではこの方向の理論を他のいくつか問題に適用しながら、できる限り代数体全般に応用できるような使いやすい形に直して行くことを試みた。その結果、代数体の元を空間内の点として表示する際の座標の入れ方等に関しては、種々の目的に適した基本的な方法が確認される等、一応満足できる成果が得られた。しかし、主要な結果は現在ようやく一部がプレプリントにまとまった段階であり、実績報告書に記載するまでに至っていない。