3次元多様体の構造と本質的部分多様体および結び目の構成的な扱いの研究

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平成19年度は研究実施計画に従い、とりわけ3次元球面内の結び目に関する分岐被覆空間の普遍量の研究と例外型デーン手術の研究を行った。前者の研究につちえは平成20年1月に大阪市立大学において研究会を行い、先行研究に関する論文を共同で執筆し海外の学術雑誌に投稿を行った。分岐被覆空間の普遍量の計算方法として計算機を用いる方法は多数知られているが、この研究に関して研究代表者は対象物の幾何学的な扱いによる計算方法を2003年頃に考案し、レンズ空間を生成するデーン手術を許容する結び目の代謝例である(-2,3,7)-プレッツエル結び目に関して試験的に計算し、計算結果が数学的に検証可能であることを示すものであると思われる。なお、この研究は普遍量の研究として分類されるものではなく、分類が必要であれば多様体の幾何学的性質の研究から派生するものであるため、多様体の位相的性質の研究として位置づけられるべきであると考える。後者の例外型デーン手術の研究については2007年12月に京都で行われた国際会議で概要の発表を行った。本来は種数1の双曲的結び目が許容する種数最小のザイフェルト曲面の枚数に関する研究から派生したものであるが、今回の研究は一般の種数の双曲的結び目は種数最小のザイフェルト曲面の枚数に関して種数1の双曲的結び目とは異なる性質を持つことを具体例を構成することにより明らかにしたものであるが、その内容は今後学術雑誌に発表が予定されている。以上が主たる研究内容の概要であるが、本補助金のスタートアップ経費としての使途として、計算資源と環境の確保が挙げられる。平成19年度は複数の計算機を確保し研究室内にネットワークを構成したが、これは近年計算機の部品の抵価格化と、学科運営の仕事に携わる事によりネットワークの運営を実践的に学ぶことができたため可能であったと考えられる。