Dynamics of transcendental and rational functions

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C. Bishopは、Eremenko-Lyubich型(class B)超越関数の遊走領域の擬等角折り込みによる構成法を与えた。それによれば、平面上のいくつかの条件をみたす無限樹木から出発して、それに対応する写像を擬正則写像として構成し、それを擬等角写像の合成により、正則な関数に戻すことが出来、もし、その際の歪みをコントロールできるならば、与えられた力学系についての情報を結論できるというものである。David Marti Peteが中心となって宍倉、木坂正史と共にこの論文（そしてそこから派生したLazebnik, Fagella-Godillon-Jarqueの論文も）を読むセミナーを行い、その証明について検討した。これらの論文中の証明の帰納的構成に関する問題点を発見し、検討するうちに、Marti Peteと宍倉は、より簡明な構成法を発見した。我々の方法では、具体的なcosh関数から出発して、一部で写像を擬正則写像として変形し、擬等角折り込みの方法で超越整関数を作るものであるが、各所で具体的な構成を与えているため、Bishop達の証明であった帰納的な構成における循環的な問題は回避できた。この方法により、振動型遊走領域を持つEremenko-Lyubich型超越関数で、さらに有限位数をもつものを構成できることをした。実際に任意の正の半整数がその位数として実現できることも示せた。この結果は論文として投稿中である。また、宍倉は、上記の構成でも使われる擬等角写像の評価を与え、擬等角写像の1点ごとの微分可能性をより簡明に証明する方法を与えた。以前から続けている、Marti Peteと宍倉による複素1次元Arnold族のfinger状集合については、fingerの数の定量的評価を与えることを目標とし、論文を準備中である。