グラフとその上のランダムウォークの研究

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1. Noam Berger(ヘブライ大学), Chiranjib Mukherjee(ミュンスター大学)両氏との共同研究によって得られた、ある種の長距離相間をもちうるパーコレーション上のランダムウォークのプロセスレベルの大偏差原理の論文があるが、その大幅な書き直しに時間を費やした。このことは査読者からの報告書に応えるために必要であった。この論文はCommunication in Mathematical Physics誌に掲載が決まった。なお、Tuan Anh Nguyen氏(ベルリン工科大学)との議論により、グラフ距離に関する仮定をDeuchel-Nguyen-Slowik (2018) によるクラスターの正則性条件に置き換えることで、我々の証明の一部分においてより簡単な別解が得られることがわかった。しかし彼らの議論はランダムクラスターモデルには適用できないという問題点があり今後の課題である。2. スペクトル次元がちょうど2のグラフ上のランダムウォークの訪問点の個数の増大度について、almost surelyでの挙動について考察した。Kim-Kumagai-Wang (2017) の結果から、(劣)Gauss型の熱核評価が成立するグラフでは、適切にスケールされた訪問点の個数の上極限と下極限が(出発点に依らない)定数に概収束することが従うが、今の所は上極限の定数の上下評価にとどまり、最重要な下極限の定数の下からの評価は結局わからなかった。その他にも、分散の良い評価が得られていないこと、また、2次元の整数格子上のBernoulli型パーコレーションの無限クラスター上でも未知であるという課題もある。3. Dirichlet空間上のWienerソーセージの体積のalmost surelyでの長時間挙動について考察した。前年度に得た結果と合わせて年度末に学術雑誌に投稿した。