グラフとその上のランダムウォークの研究

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1. 高木関数を含むある種のフラクタル関数の、微分可能性や連続性の強さなどの実解析的性質を調べた。大域的にはおよそ対称だが、局所的には非対称な関数を構成した。2. 1次分数変換でない関数(例えば多項式)から定義されるのde Rhamの関数方程式について、ある特徴的な量により特異性が判定できることを示した。 関数方程式を力学系とみなしてエルゴード定理に持ち込むことにより、Minkowski関数などのよく知られた特異関数のみならず、それを少し摂動させた関数たちの特異性もわかった。3. Benjamini, Gurel-Gurevich, and Lyonsでは、非再帰的なグラフ上の単純ランダムウォークの訪問点全体の集合 (トレース) が、再帰的なグラフ (即ち、その上の単純ランダムウォークが非再帰的である) という結果を示した。そこで、大まかには「トレースはもとのグラフと比べてどの程度「小さい」か」、具体的には「トレースにBernoulli型パーコレーションを付け足したときに、非再帰的になっている確率が正になっているか」を考察した。更にこの問題設定をグラフに対する性質にまで一般化し、 連結性などの幾何学的性質についても考察した。この枠組みは相転移のある種の一般化になっている。結果は元のグラフとその部分グラフの組の選び方に強く依存することがわかった。4. また、トレースをある時間までで止め、それをパーコレーションによって拡大したものの体積の時間発展を調べた。パーコレーションを付け足さない時はランダムウォークレンジの時間発展であり、ここではより複雑な確率過程になっている。ランダムウォークレンジの時間発展に対する結果のうちいくつかとはそれらに類似した結果が成り立つことがわかった。