Classification of cosmetic surgeries on knots in rational homology spheres

局所的に3次元の座標が設定できる空間（位相空間）を3次元多様体といい，3次元多様体の改変操作としてよく知られている操作にデーン手術と呼ばれる操作がある。一般には，デーン手術により，元とは異なる3次元多様体が生成されるが，本研究課題の主な研究対象は，元の多様体と同じ（同相な）多様体を生成する非自明なデーン手術，いわゆる矯飾的手術(cosmetic surgery)である。設定した研究目的は，様々な研究技法を組み合わせた融合的なアプローチにより，有理ホモロジー球面（1次元ホモロジー群が巡回群となり2次元以上のホモロジー群が自明となるような3次元多様体）内の結び目に沿った矯飾的手術を分類することである。より具体的には，A) 有理ホモロジー球面内の非自明な結び目に対して，向きを保って同相な3次元多様体を生成する手術（純矯飾的手術）の非存在を示すこと，B) 有理ホモロジー球面内の結び目に沿った向きが逆で同相な3次元多様体を生成する手術（鏡像矯飾的手術）を分類すること，を目指す。当該年度に得られた主な研究成果は，3次元球面内の結び目が鏡像矯飾的手術を許容するためのいくつかの必要条件を得たことである。これらの条件（制約条件）を得るために，3次元多様体の不変量，特に，量子SO(3)不変量，ヒーガードフレアホモロジーの階数を利用した。またこれらの条件を用いることで，10交点以下の結び目表のおよそ3/4の結び目について，現在知られているもの以外の鏡像矯飾的手術は存在しないことを示すことができた。

局所的に3次元の座標が設定できる空間（位相空間）を3次元多様体といい，3次元多様体の改変操作としてよく知られている操作にデーン手術と呼ばれる操作がある。一般には，デーン手術により，元とは異なる3次元多様体が生成されるが，本研究課題の主な研究対象は，元の多様体と同じ（同相な）多様体を生成する非自明なデーン手術，いわゆる矯飾的手術(cosmetic surgery)である。設定した研究目的は，様々な研究技法を組み合わせた融合的なアプローチにより，有理ホモロジー球面（1次元ホモロジー群が巡回群となり2次元以上のホモロジー群が自明となるような3次元多様体）内の結び目に沿った矯飾的手術を分類することである。より具体的には，A) 有理ホモロジー球面内の非自明な結び目に対して，向きを保って同相な3次元多様体を生成する手術（純矯飾的手術）の非存在を示すこと，B) 有理ホモロジー球面内の結び目に沿った向きが逆で同相な3次元多様体を生成する手術（鏡像矯飾的手術）を分類すること，を目指す。当該年度に得られた主な研究成果は，3次元球面内の結び目が鏡像矯飾的手術を許容するためのいくつかの必要条件を得たことである。これらの条件（制約条件）を得るために，3次元多様体の不変量，特に，量子SO(3)不変量，ヒーガードフレアホモロジーの階数を利用した。またこれらの条件を用いることで，10交点以下の結び目表のおよそ3/4の結び目について，現在知られているもの以外の鏡像矯飾的手術は存在しないことを示すことができた。