ゲージ理論のモ-ス理論的側面とTFT的側面

94年秋、4次元のゲージ理論の歴史において画期的な発見がWitten等によってなされ、これに伴い、当初の研究計画は、大きく変更されることとなった。当初の計画は1.正則写像のmoduli空間のトポロジーについて2.リーマン面上のP1束のmoduli空間の切断のトポロジーについて3.Casson不変量とRochlin不変量との関係とモ-ス理論であった。上記の発見から3.は変更を余儀なくされ、また、以下の4.の研究をおこなった。4.は今後引き続き課題として研究継続中である。1.についてはM.Guest氏との共同研究をおこない、Segalの定理(「写像度が大きくなるにつれ正則写像の空間は、連続写像の空間をよりよく近似する」)を、ターゲット空間の複素構造を変形を利用して拡張するアイディアについて議論し、問題を配置空間のトポロジーに関する予想に帰着した。2.については、吉田正順氏(M2)及び、河井真吾氏(D3)との共同研究により、見かけの特異点の個数の評価(cf.吉田氏修論)及び、リーマン面の複素構造の変形こみのモノドロミ-保存変形の扱い(cf.河井氏博士論文)を得た。)3.これまでゲージ理論とRochlinの定理とは独立した考察に属していたが上記のWittenの理論の立場から、Kronhejmerがスピン構造の意義を明らかにし、前者を後者の線形理論の非線形版として把握した。筆者は、軌道体の構造を利用することにより、スピン構造を持たない場合にも、両者をともに拡張する方法を得た。4.Wittenの理論の反応として、Seifert多様体を境界とする負定値4次元多様体のBetti数を上から評価した。

94年秋、4次元のゲージ理論の歴史において画期的な発見がWitten等によってなされ、これに伴い、当初の研究計画は、大きく変更されることとなった。当初の計画は1.正則写像のmoduli空間のトポロジーについて2.リーマン面上のP1束のmoduli空間の切断のトポロジーについて3.Casson不変量とRochlin不変量との関係とモ-ス理論であった。上記の発見から3.は変更を余儀なくされ、また、以下の4.の研究をおこなった。4.は今後引き続き課題として研究継続中である。1.についてはM.Guest氏との共同研究をおこない、Segalの定理(「写像度が大きくなるにつれ正則写像の空間は、連続写像の空間をよりよく近似する」)を、ターゲット空間の複素構造を変形を利用して拡張するアイディアについて議論し、問題を配置空間のトポロジーに関する予想に帰着した。2.については、吉田正順氏(M2)及び、河井真吾氏(D3)との共同研究により、見かけの特異点の個数の評価(cf.吉田氏修論)及び、リーマン面の複素構造の変形こみのモノドロミ-保存変形の扱い(cf.河井氏博士論文)を得た。)3.これまでゲージ理論とRochlinの定理とは独立した考察に属していたが上記のWittenの理論の立場から、Kronhejmerがスピン構造の意義を明らかにし、前者を後者の線形理論の非線形版として把握した。筆者は、軌道体の構造を利用することにより、スピン構造を持たない場合にも、両者をともに拡張する方法を得た。4.Wittenの理論の反応として、Seifert多様体を境界とする負定値4次元多様体のBetti数を上から評価した。