Invariants of pseudo-Anosov homeomorphisms

本研究は，曲面の擬アノソフ写像類の数多くある不変量を比較することにより，曲面および3次元多様体の研究に貢献することが目的である.2次元と3次元を 結びつけるルートとして，サーストンによる擬アノソフ写像類の写像トーラスには双曲構造が入るという事実がある.本研究の出発点は，以前にMcShane氏との 共同研究で得られた，擬アノソフ写像類のエントロピーとその写像トーラスの双曲体積との間の明示的不等式である.アノソフ写像類のエントロピーは，タイヒミュラー空間のタイヒミュラー計量に関する移動距離と同一視できる.そこで当初は，タイヒミュラー空間上の，た とえばベイユ・ピーターソン計量などの各種の既存の距離に関する移動距離と，写像トーラスの体積等の幾何学的不変量との関係を模索した.一方昨年度正井秀俊(東京工業大学)が,移動距離が写像トーラスの体積に一致するようなタイヒミュラー空間上の距離を，擬フックス群 の繰り込み体積とグロモフのホロ関数を使って定義した.さらに今年度，イタリアのベルトロッティとフリゲリオが任意の写像類に対し写像トーラスの単体体積に一致する充満体積を定式化し．写像類群上の長さ関数を定義した．彼らの長さ関数の値は擬アノソフ写像類に対しては正井の距離に関する移動距離と一致している．一方，正井の距離が上限ノルムを使って定義されるので，その写像類群上の長さ関数はイタリアグループの長さ関数とは異なると思われる．しかし，疎幾何の観点からはそれほどは違わないと思われ，現在は両者の関係の精細化と我々の研究との結びつきの検討を続けている.

本研究は，曲面の擬アノソフ写像類の数多くある不変量を比較することにより，曲面および3次元多様体の研究に貢献することが目的である.2次元と3次元を 結びつけるルートとして，サーストンによる擬アノソフ写像類の写像トーラスには双曲構造が入るという事実がある.本研究の出発点は，以前にMcShane氏との 共同研究で得られた，擬アノソフ写像類のエントロピーとその写像トーラスの双曲体積との間の明示的不等式である.アノソフ写像類のエントロピーは，タイヒミュラー空間のタイヒミュラー計量に関する移動距離と同一視できる.そこで当初は，タイヒミュラー空間上の，た とえばベイユ・ピーターソン計量などの各種の既存の距離に関する移動距離と，写像トーラスの体積等の幾何学的不変量との関係を模索した.一方昨年度正井秀俊(東京工業大学)が,移動距離が写像トーラスの体積に一致するようなタイヒミュラー空間上の距離を，擬フックス群 の繰り込み体積とグロモフのホロ関数を使って定義した.さらに今年度，イタリアのベルトロッティとフリゲリオが任意の写像類に対し写像トーラスの単体体積に一致する充満体積を定式化し．写像類群上の長さ関数を定義した．彼らの長さ関数の値は擬アノソフ写像類に対しては正井の距離に関する移動距離と一致している．一方，正井の距離が上限ノルムを使って定義されるので，その写像類群上の長さ関数はイタリアグループの長さ関数とは異なると思われる．しかし，疎幾何の観点からはそれほどは違わないと思われ，現在は両者の関係の精細化と我々の研究との結びつきの検討を続けている.