非可換代数多様体上のD加群とその表現論への応用

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1.研究代表者は、引き続き、パラメータがべき根の場合の量子群の旗多様体とその上のD加群について考察した.前年度の研究で、微分作用素環の中心から定まる複素シンプレクティック多様体を決定し、微分作用素環がこの多様体の上の東屋層になることを予想していたが、これを普遍R行列を用いた考察により、直接証明した.残った問題は、ベキ根におけるBeilinson-Bernstein型定理が成り立つかである.Bezrukavnikov-Mirkovic-Rumyninの議論により、問題は、微分作用素環の高次コホモロジー群の消滅に帰着される事がわかる.変形量子化の理論で使われる論法を用いると、微分作用素環のある種の退化を考え、これに関して同様の事実を示せばよいことがわかる.ここで現れる微分作用素環の退化は、正標数の場合と異なり、完全に可換にはならないので、まだここに困難が残っており、完全な解決には至っていない.2.研究代表者は、ベキ根における量子包絡環(De Concini-Kac 形式から定まるもの)、および微分作用素環の中心について、引き続き考察した.ベキ根における量子包絡環の中心に関しては、De Concini-Procesiの原証明の他にGavariniによるよりスマートな証明がある.代表者が昨年度の研究で得た証明は、考え方の上ではGavariniによるものと似ているが、実際に計算する部分に関しては、互いに双対な対象に関して異なる生成系をとっているため、細部での違いはかなり有る.そこで、Gavariniの手法も取り入れて、より自然な証明を与えた.またGavariniは多パラメータ型量子群も同様の手法で扱っており、これを微分作用素環の場合に拡張すれば、より興味深い結果が得られるものと思われる.これは今後の課題である.