無限次元リー代数と量子群の表現論の代数解析的研究

アフィン・リー代数の負レベルでの最高ウェイト表現の指標公式について,柏原正樹氏と共同研究を行った.これまでの柏原氏との研究で,最高ウェイトが整ウェイトの場合にはカジュダン・ルスティック型指標公式が成立することが証明できていたが,さらにこれを拡張し,最高ウエイトが有利的な場合にも同様の公式が成立することを証明した.証明は,リー代数の表現とD加群の関係を与える代数解析的部分およびD加群と交叉ホモロジーをつなぐ位相的部分の二つに分かれる.代数解析的部分では,整ウェイトの場合の証明はそのままでは拡張できないので,新たにラドン変換についての一般論を構築して,これを用いた.また位相的部分では,カッツ・ムーディ・リー代数のルート系の部分ルート系に関する考察を行いこれを用いてルスティックの結果を拡張した.この結果は以前の結果を含むものであるが,証明は見通しのはっきりしたものになった.なお,我々の結果とカジュダン・ルスティック及びアンデルセン・ヤンツェン・ゾルゲルの結果をあわせて,この分野における永年の懸案であった正標数における半単純代数群の有利表現の指標に関するルスティック予想の証明が完成した.また,一般カッツ・ムーディ・リー代数の量子群についてS.-J.カン氏と共同研究を行い,普遍R行列の存在及びその中心の構造定理を得た.さらに,ゲルファントらによるグラスマン多様体上の一般超幾何方程式のさらなる一般化であるエルミート対称空間上の微分方程式について考察を行い,ラドン変換との関連や,方程式がホロノミー系になるための条件について調べた.

アフィン・リー代数の負レベルでの最高ウェイト表現の指標公式について,柏原正樹氏と共同研究を行った.これまでの柏原氏との研究で,最高ウェイトが整ウェイトの場合にはカジュダン・ルスティック型指標公式が成立することが証明できていたが,さらにこれを拡張し,最高ウエイトが有利的な場合にも同様の公式が成立することを証明した.証明は,リー代数の表現とD加群の関係を与える代数解析的部分およびD加群と交叉ホモロジーをつなぐ位相的部分の二つに分かれる.代数解析的部分では,整ウェイトの場合の証明はそのままでは拡張できないので,新たにラドン変換についての一般論を構築して,これを用いた.また位相的部分では,カッツ・ムーディ・リー代数のルート系の部分ルート系に関する考察を行いこれを用いてルスティックの結果を拡張した.この結果は以前の結果を含むものであるが,証明は見通しのはっきりしたものになった.なお,我々の結果とカジュダン・ルスティック及びアンデルセン・ヤンツェン・ゾルゲルの結果をあわせて,この分野における永年の懸案であった正標数における半単純代数群の有利表現の指標に関するルスティック予想の証明が完成した.また,一般カッツ・ムーディ・リー代数の量子群についてS.-J.カン氏と共同研究を行い,普遍R行列の存在及びその中心の構造定理を得た.さらに,ゲルファントらによるグラスマン多様体上の一般超幾何方程式のさらなる一般化であるエルミート対称空間上の微分方程式について考察を行い,ラドン変換との関連や,方程式がホロノミー系になるための条件について調べた.