無限次元リー代数と量子群の表現の幾何学的研究

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カッツ・ムーディ・リー代数および量子群の表現について,代数幾何学および代数解析学の手法を用いて研究を行なった。カッツ・ムーディ・リー代数に関しては,柏原正樹との共同研究により,アフィン・リー代数の負レベルをもつ既約最高ウェイト加群の指標公式を証明した。証明方法は,有限次元半単純リー代数の場合(ブリリンスキー・柏原,ベイリンソン・ベルンスティン),対称化可能カッツ・ムーディ・リー代数の正レベルの場合(柏原・谷崎,カシアン)と基本的には同様である。すなわち,リー代数の表現と旗多様体上のD加群の対応を与え,さらにリーマン・ヒルベルト対応を用いてD加群を調べるとき,問題はシューベルト多様体の交叉ホモロジー群を計算することに帰着されるが,これは正標数でのヴェイコ層(あるいはホッジ加群)の理論を用いて解決される。ただし,今度の結果に特有の性質も幾つかある。まず有限次元半単純リー代数の場合と異なり,旗多様体が無限次元になるので,無限次元スキームに関する考察が必要である。また正レベルの場合には,余次元が有限なシューベルト多様体に台をもつ左D加群を考えたが,今度は次元が有限なシューベルト多様体に台をもつ右加群を用いなければ,ならなかった。なお,この結果と最近のカジュダン・ルスティック,アンデルセン・ヤンツェン・ゾルゲルの結果を合わせると,量子群の1の巾根における表現および正標数の半単純代数群の有理表現に関するルスティックの予想を同時に示されたことになる量子群については,その旗多様体の非可換スキームとしての構成について考察した。特に開シューベルト・セル及びそれのワイル群の元による平行移動の台類似として,非可換アフィン・スキームを定義することができる.これらのうえの“関数"の空間には量子群が作用し,量子群の表現空間ができる。この表現はヴァーマ加群や脇本加群の台類似となっており興味深い性質をもつことがわかった。