中間ウェイトのジーゲル保型形式の研究

次数2のジーゲル保型形式の次元公式はウェイトが5以上ならば既知であった。スカラー値でウェイトが1、3、4のカスプ形式について、パラホリック型の離散群については、この科研費にかかわる研究で筆者が確定させた。しかし、今のところ手がかりの全くないウェイト2の場合を除いても、2つ問題が残っている。ひとつはカスプ形式と保型形式の差の次元であり、もうひとつはベクトル値の次元である。前者については、ジーゲルフィー作用素の像の次元に帰着し、ウェイト5以上ならばこの作用素の全射性が佐武により知られたいたが、ウェイトが4以下では不明であった。今回、素数レベルのヘッケ型の離散群については、像の次元をウィット作用素の像の性質に帰着することにより、確定させた(一部、Boechererとの共同研究)。手法としては、ウィット作用素の像に対し、保型形式がテータ関数で張られるという基底問題の類似を問うことによっている。作用素が「カスプ形式を法とした空間」への全射かどうかを問うという視点が非常に新しい。また、ベクトル値の場合については、ウェイトが大きい場合もフィー作用素の全射性はわかっていない。この場合、全ジーゲルモジュラー群についてはウェイトが10以上ならば、ウィット作用素が自然に想定される像の空間へ全射になっていることを証明した(若槻聡との共同研究)。これらについて、成果発表と問題提起をチリでの国際会議で行った。全体として、次数2については、低いウェイトの保型形式の次元の様子は本研究で当初の想定以上に詳しくあきらかになっており、高い次数の研究への足がかりとしても、萌芽研究としての十分な成果を挙げたと考えている。

次数2のジーゲル保型形式の次元公式はウェイトが5以上ならば既知であった。スカラー値でウェイトが1、3、4のカスプ形式について、パラホリック型の離散群については、この科研費にかかわる研究で筆者が確定させた。しかし、今のところ手がかりの全くないウェイト2の場合を除いても、2つ問題が残っている。ひとつはカスプ形式と保型形式の差の次元であり、もうひとつはベクトル値の次元である。前者については、ジーゲルフィー作用素の像の次元に帰着し、ウェイト5以上ならばこの作用素の全射性が佐武により知られたいたが、ウェイトが4以下では不明であった。今回、素数レベルのヘッケ型の離散群については、像の次元をウィット作用素の像の性質に帰着することにより、確定させた(一部、Boechererとの共同研究)。手法としては、ウィット作用素の像に対し、保型形式がテータ関数で張られるという基底問題の類似を問うことによっている。作用素が「カスプ形式を法とした空間」への全射かどうかを問うという視点が非常に新しい。また、ベクトル値の場合については、ウェイトが大きい場合もフィー作用素の全射性はわかっていない。この場合、全ジーゲルモジュラー群についてはウェイトが10以上ならば、ウィット作用素が自然に想定される像の空間へ全射になっていることを証明した(若槻聡との共同研究)。これらについて、成果発表と問題提起をチリでの国際会議で行った。全体として、次数2については、低いウェイトの保型形式の次元の様子は本研究で当初の想定以上に詳しくあきらかになっており、高い次数の研究への足がかりとしても、萌芽研究としての十分な成果を挙げたと考えている。