概均質ベクトル空間と保型形式

概均質ベクトル空間のゼータ関数を既知のゼータ関数で書く研究を行った。本年度は主としてジョルダン代数、特に(IV)型のジョルダン代数に付随するゼータ関数、すなわち、有理数体上の不定符号2次形式の(Siegelの定義した)ゼータ関数について研究した。これについては、1940年代にH.Maassが、ごく特殊な場合(成分が1または-1の対角行列の場合)に、いくつかの場合について具体的な結果を得ていた。彼の方法の要点はHamburgerの定理の類似を実解析的保型形式で示し、カスプ形式が存在しない場合はこの定理でゼータ関数がアイゼンシュタイン級数から得られることを示すことにある。このような方法は一般論には適用できない特殊な論法である。しかし我々の研究では、任意の偶数変数の不定符号2次形式について、ゼータ関数が種々のディリクレのL関数2つの積の有理係数1次結合で具体的に書けることを示した。方法は、不定符号2次形式に付随するテータ級数の平均(実解析的保型形式)が各種アイゼンシュタイン級数の線形結合になるというジーゲルの結果を詳細に調べ、このフーリエ展開を適当にまとめることにより、対応するゼータ関数がL関数の積になる部分の和にまとめ直せることを言うものである。また、この結果の系として、このようなゼータ関数の非正整数での値は皆有理数であることを示した。これは佐武、尾形等による予想の部分的な解決である。保型形式の次元公式への応用、指数和等についても研究した。

概均質ベクトル空間のゼータ関数を既知のゼータ関数で書く研究を行った。本年度は主としてジョルダン代数、特に(IV)型のジョルダン代数に付随するゼータ関数、すなわち、有理数体上の不定符号2次形式の(Siegelの定義した)ゼータ関数について研究した。これについては、1940年代にH.Maassが、ごく特殊な場合(成分が1または-1の対角行列の場合)に、いくつかの場合について具体的な結果を得ていた。彼の方法の要点はHamburgerの定理の類似を実解析的保型形式で示し、カスプ形式が存在しない場合はこの定理でゼータ関数がアイゼンシュタイン級数から得られることを示すことにある。このような方法は一般論には適用できない特殊な論法である。しかし我々の研究では、任意の偶数変数の不定符号2次形式について、ゼータ関数が種々のディリクレのL関数2つの積の有理係数1次結合で具体的に書けることを示した。方法は、不定符号2次形式に付随するテータ級数の平均(実解析的保型形式)が各種アイゼンシュタイン級数の線形結合になるというジーゲルの結果を詳細に調べ、このフーリエ展開を適当にまとめることにより、対応するゼータ関数がL関数の積になる部分の和にまとめ直せることを言うものである。また、この結果の系として、このようなゼータ関数の非正整数での値は皆有理数であることを示した。これは佐武、尾形等による予想の部分的な解決である。保型形式の次元公式への応用、指数和等についても研究した。