一般ジーゲル公式とゼータ関数

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本年度は、一般のTrube domain上のKoecher Maass級数の解析接続、関数等式、を証明した。またKoecher Maass級数を用いた保型形式のliftingの記述、応用の可能性を研究した。これは昨年度の研究でDukeとImamogluによるKoecher Maass級数を用いたSaito-Kurokawa liftingの別証明を深く研究したとき以来の懸案でもあった。研究代表者はかなり以前より直接フーリエ係数を用いる形で1変数から偶数次数のジーゲル保型形式への具体的なリフティングの予想を持っていたが、はからずも今年度にDukeとImamoguluによる類似の(しかしstandard L関数によってリフティングを記述するという点ではかなり異なる)予想が伝えられ、さらにはBreulmannとKussがこれを数値実験で検証するという進展があった。全く違った発想で本質的に同じ現象の別の側面と思われる予想がたてられたということは予想の正当性を裏付けるものであると思う。現在我々はこれと類似の実験をKoecher Maass級数という観点で実行しつつあるし、また考え得る証明の方針、さらにはどの部分が難しいのかといったことも、かなり見えてきた。この点では、Koecher Maass級数の有用性もはっきりしてきたといえる。萌芽的研究の目的である新しい分野を開くという点では次の研究につなげることができ、成功であったと考える。研究に関連して、研究代表者はジョルダン代数について金沢大学にて発表を行い、代数曲線の有理点について東京大学で、また2次形式のゼータ関数(特に不定符号の場合)について、山形大学、京都大学等で発表し、韓国西江大学校での研究集会「整数論ミニコース」で集中講義を行うとともに、延世大学校の談話会で発表をおこなった。また、秋には第1回整数論オータムワークショップを主催し、研究交流によりGL_nの保型形式とリフティングの関連について理解を深め、また12月にはドイツ国オーベルボルファッハ研究所では国際研究集会の共同議長を務め、かつ講演も行った。