保型形式とオイラー積の和としてのゼータ関数

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本年度は、保型形式として、主として重さk(整数)の次数nのSiegel Eisenstein級数E^n_k(Z)をとりあげ、ゼータ関数としては、それに付随するKoecher Maassのディリクレ級数L(s,E^n_k(Z))(E^n_k(Z)のMellin変換で得られるゼータ関数)を取り上げた。このゼータ関数の具体型はn=1は古典的によく知られている。また、n=2はフーリエ係数のMaassによる公式から、Boechererが導いている。しかし、一般の公式は予想等もこめても、全くなにも知られていなかった。今年度のこの研究におけるわれわれの主定理として、L(s,E^n_k)の完全に具体的な公式を得た。結論は、多く専門家の思いこみに反して、いたって単純な形に記述される。すなわち、nが奇数ならリーマンゼータ関数の平行移動の積の2つの線形結合になり、またnが偶数なら、重さ半整数の2つの1変数Eisenstein級数のMellin変換のconvolution productとリーマンゼータの平行移動の積、およびリーマンゼータの平行移動の積の2つのディリクレ級数の和になる。以上、本研究代表者が研究課題名(オイラー積の和としてのゼータ)に予言した通りの方向で結論が得られたわけであり、これは、研究方向の正当性とKoecher Maassディリクレ級数がヘッケ作用素による従来のゼータ関数と同じように非常に興味深い対象であることの両方を指し示しており、保型形式論の今までにない新しい側面を切り開く成果であると信ずる。なお、以上の成果に関連して、大阪大学、京都大学、九州大学、室蘭工業大学等で講演を行った。