非線形可積分系の数理

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非線形可積分系に関する3回の研究集会・研究会を開催し、多くの分野の研究者と研究討論や情報交換を行った結果、つぎの5点で重要な進展があった。1)数理生物学のロトカ・ボルテラ方程式の差分化をめぐって、ハミルトン構造に基づくシンプレクティックな差分化と解の代数構造を保存する広田の差分スキームのコンピュータシミュレーションによる比較検討が行われた。しずれも、大きな差分ステップでは連続な解から少しずれるものの、極めて数値安定性に優れることが検証された。2)ロトカ・ボルテラ方程式はランダムな2体衝突モデルの粒子数無限大の極限であるが、極限をとる前の2体・4体衝突モデルの確率微分方程式が、可積分系に共通するラックス表示をもつことが示された。3)有理関数のローラン係数の定めるハンケル行列の行列式として有限非周期戸田方程式のタウ関数が導かれた。これを用いて、いくつかのソリトン方程式のソリトン解に対応するタウ関数の零点の挙動が戸田方程式により支配されることがわかった。4)有限非周期戸田方程式のタウ関数の第2の応用として、正定値ハンケル行列のなす双対平坦なリーマン多様体(情報空間)と可積分系のかかわりが明らかになった。5)有理関数は制御理論では伝達関数として現れる。有限非周期戸田方程式を拡張した非線形可積分系の誘導する有理関数の空間上の1パラメータ流は、連分数展開の定める部分空間を縦断するというフィードバック等にない機能をもつことがわかった。