無限可積分系のタウ関数によるBCH-Goppa符号の復号化アルゴリズムの開発

使用无限可积系统的 tau 函数开发 BCH-Goppa 码的解码算法

• 批准号: 08211106
• 负责人: 中村 佳正
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-08211106/
• 关键词: 可積分系; タウ関数; BCH-Goppa符号; 復号法; Steffensenの反復法

研究代表者は平成8年10月に大阪大学において可積分系戸田分子のタウ関数によるBCH-Goppa復号法を主題とした研究集会「応用数学における非線形可積分系の視点」を開催した.同7月には京都大学にて研究集会"Discretizations of Integrable Systems:Theory and Applications"を開催協力し,この科研費から講演者の旅費の一部を援助した.また,研究代表者は国内外で合計15回に及ぶ学会・研究集会講演を行うとともに,学生大学院生の補助を得て数値計算実験を継続した.以上がこの研究課題に関する研究活動の概要である.その結果,平成8年度には次の二つの進展があった.1 可積分系の通信理論への応用に取り組み,研究代表者が1994年に開発した有限体上の戸田分子に基づくBCH-Goppa符号の復号化アルゴリズムによって,任意のシンドロームからエラーの位置を計算できることがわかった.エラーの位置は成分がタウ関数の比で表される3重対角行列の固有値として実現され,タウ関数の正値性がこの復号法のポイントになっている.なお,3重対角行列の固有値計算による復号法としては他にもFaybusovich(1994年),代田(1995年)があるが,両者については復号化できないシンドロームの例が見つかった.2 非線形方程式の解を計算する反復解法にSteffensen法がある.この手法による反復列は解に2次収束し,広く使われているNewton法の離散版とみなせる.このSteffensenの反復法の拡張に成功した.ポイントは反復関数の定義に数列の加速法であるk次Shanks変換を用いることである.その結果,新しい反復解法は少なくともk+1次の収束次数を達成している。Shanks変換の計算では,ε-アルゴリズムの援用により行列式の直接的な計算を避けることで,計算量が大幅に低減された.また,新しい反復解法の局所的収束性と数値安定性も証明された.

Research representative: Osaka University, October 2008."Non-linear Integral Systems in Mathematics" was the theme of the seminar. In July, Kyoto University held a research conference on "Discretizations of Integral Systems:Theory and Applications" to urge cooperation and provide assistance for research expenses and travel expenses of speakers. Research representatives at home and abroad totaled 15 times and the number of academic and research meetings was calculated. Summary of research activities related to the above research topics. The results of this research are summarized as follows: 1. The application of communication theory in integrable systems was studied by the representative in 1994, and the basic BCH-Goppa symbol was developed in finite bodies. The ratio of the position of the opposite component to the number of relations is expressed as the inherent value of the three pairs of angles. Faybusovich(1994), Yoshida (1995) and Steffensen (1995) are examples of complex sign methods for calculating the intrinsic values of three-fold angular arrays. 2 The iterative solution of non-linear equations. This method is repeated to solve the problem twice, and the Newton method is used to solve the problem discretely. Steffensen's method of repetition was successful. The number of iterations is defined by the acceleration method of k times Shanks. As a result, the new iterative solution is less than k+1 times. Shanks change the calculation,ε- The convergence and numerical stability of the new iterative solution are proved.

项目成果

Y.Nakamura: "Jacobi algorithm for symmetric eigenvalue problem and integrable gradient system of Lax form" Japan Journal of Industrial and Applied mathematics. 14巻・2号. (1997)

Y. Nakamura：“对称特征值问题和 Lax 形式的可积梯度系统的雅可比算法”，日本工业和应用数学杂志，第 14 卷，第 2 期。（1997 年）

Y.Nakamura: "The BCH-Goppa decoding as a moment problem and a tau function over finite fields." Physics Letters A. 223巻・1号. 75-81 (1996)

Y. Nakamura：“BCH-Goppa 解码作为有限域上的矩问题和 tau 函数。物理快报 A. 第 223 卷，第 1. 75-81 期 (1996)

Y.Nakamura,L.Faybusovich: "On explicitly solvable gradient systems of Moser-Karmarkar type" Journal of Mathematical Analysis and Applications. 205巻・1号. 88-106 (1997)

Y. Nakamura、L. Faybusovich：“关于 Moser-Karmarkar 型的显式可解梯度系统”，《数学分析与应用杂志》，第 205 卷，第 1. 88-106 期（1997 年）。