層のカテゴリーとモジュライの研究

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研究計画2)に挙げたK3曲面上の層のカテゴリーとモヂュライを研究し、次の二つの結果を得た。(A)シャファレビッチ予想の解決1970年の国際数学者会議において、I.R.SharevichはHodge予想の特別な場合として『二つのK3曲面の直積上のホッヂ・サイクルは、交点形式を保つなら代数的であろう』と予想した。この予想は1984年のタタ研究所での国際研究集会の報告集に掲載された拙著On the moduli space of vector bundles on K3 surfaces,Iにおいて、ベクトル束のモヂュライ空間を使って、部分的に解かれていたが、一般の場合もこれに変形議論を加味することによって解決に到達した。現在、アーベル多様体に対するHodge予想や志村多様体との関係に興味を持っている。(B)3次元ファノ多様体の新記述上掲論文において定義された、二つの3K曲面の同種の概念は、曲線と3次元ファノ多様体上の層のカテゴリーの関係について示唆をあたえている。拙著Vector bundles and Brill-Noether theory,MSRI Publ.♯28(1995),pp.145-158においては、これを使って、種数7のファノ多様体が種数7の曲線上の階数2の安定ベクトル束のモヂュライ空間におけるBrill-Noether部分多様体として得られることを報告していた。今年度は、層の対応をより詳しく調べることによって、少し設定は異なるが、種数9のファノ多様体も同様であることを発見した。Zagier,King等によるモヂュライ空間のコホモロジー環の決定やVerlinde型問題と関係して、将来的に有望と思える。